AMC 10 · 2016 · #16
학년 6 counting sequences-arithmeticfactorsprime-factorization convert-to-algebra ↑ 선수 지식: prime-factorization
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
어떤 수를 둘 이상의 연속한 정수의 합으로 쓴다. 가짓수를 세어라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
1
(B)
3
(C)
5
(D)
6
(E)
7
풀이 과정
전략 변수 도입하기
수열의 길이와 시작 수에 이름을 붙이면 합이 깔끔한 방정식 하나로 바뀐다. 그 방정식은 고정된 수와 같은 곱으로 인수분해되므로, 해의 개수를 세는 일이 그 수의 약수 쌍을 세는 일이 된다 — 유한한 목록이라 직접 확인할 수 있다.
1STEP 1
시작과 길이에 이름 붙이기
문자 둘이 모든 연속열을 설명한다.
a, a+1, …, a+(k-1)
첫 항과 항의 개수에 이름을 붙이는 순간 목록 전체가 정해진다.
6.EE.B.6Introduce A Variable2STEP 2
합을 방정식 하나로 쓰기
합이 깔끔한 곱 하나가 된다.
(k(2a+k-1))/2=345 ⟹ k(2a+k-1)=690
연속된 수들의 줄은 가운데 값에 개수를 곱한 것과 같아서, 합이 곱 하나로 압축된다.
연속한 수의 합은 가운데 값에 개수를 곱한 것과 같다.
▸ 왜?
첫 항과 마지막 항을 짝지으면 안쪽으로 짝지은 것과 같은 합이 되므로, 모든 짝이 맞아떨어진다.
양 끝에서 짝지으면 합이 일정하다고르게 늘어선 목록에서 가장 작은 것과 가장 큰 것, 그다음끼리 짝지으면 언제나 같은 합이 되므로 긴 덧셈이 곱셈이 된다.
▸ 왜?
그 공통된 짝의 합은 가운데 값의 두 배이며, 그것이 이 수열의 평균이 뜻하는 바다.
평균은 합을 개수로 나눈 것산술평균은 합을 값의 개수로 균등하게 나눈 것: 평균 = 합 ÷ 개수 (따라서 합 = 평균 × 개수).
3STEP 3
두 인수를 읽어내기
그 수가 네 소수로 인수분해된다.
690 = 2 · 3 · 5 · 23
690을 k 곱하기 무언가로 나누면 문제 전체가 인수 하나 고르기로 바뀐다.
4.OA.B.4Identify Subproblems4STEP 4
690의 약수 쌍 나열하기
약수 쌍은 모두 여덟이다.
1·690, 2·345, 3·230, 5·138, 6·115, 10·69, 15·46, 23·30
690을 두 인수로 가르는 각 방법이 후보 수열 하나다.
4.OA.B.4Make A Systematic List5STEP 5
길이 1인 경우 빼고 세기
한 항짜리를 빼면 7, 보기 (D).
8쌍 - 1 (길이 1 경우) = 7
허용되는 각 분할이 실제 수열 정확히 하나를 주므로, 분할을 세면 답이 세어진다.
6.EE.B.7Make A Systematic List정답
7
일곱 중 둘을 점검하면: 172+173 = 345이고, 4+5+...+26은 평균 15인 23개 항이라 23 x 15 = 345이다. 둘 다 목표에 맞고, 가장 긴 유효 수열도 양수에서 시작하므로 7개라는 결과는 일관적이다.
💡핵심 정리
연속된 수들의 줄은 가운데 값 곱하기 길이와 같아서, 합을 곱으로 바꾸면 그냥 약수 쌍만 세면 된다.
- 시작과 길이에 이름 붙이기
- 합을 방정식 하나로 쓰기
- 두 인수를 읽어내기
- 690의 약수 쌍 나열하기
- 길이 1인 경우 빼고 세기