AMC 10 · 2016 · #19

학년 8 probability

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Markov State Probability

probability-basicindependent-eventsrecursive-sequencegeometric-series-infinite caseworkconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: probability-basicindependent-events

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

각자 처음 성공할 때까지 던지고 모두 같은 횟수여야 한다. 그 확률을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{8}$

(B)

$\frac{1}{7}$

(C)

$\frac{1}{6}$

(D)

$\frac{1}{4}$

(E)

$\frac{1}{3}$

풀이 과정

전략 변수 도입하기

이기는 방법은 무한히 많다. 셋 다 1번째에 멈추거나, 셋 다 2번째에 멈추거나, 셋 다 3번째에 멈추거나 계속 이어진다. 그래서 유한하게 셀 대상이 없다. 빠져나갈 길은 사람을 한 명씩 따라가는 대신, 세 사람이 함께 진행하는 라운드로 던지기를 줄 세우는 것이다. 그러면 한 라운드의 결과는 여덟 가지뿐이고, 그 여덟 가지를 분류해 보면 게임은 첫 라운드에서 끝나거나 아니면 처음 상태로 되돌아간다는 사실이 드러난다. 이 되풀이가 문제의 전부다. 모르는 확률에 이름을 붙이면 되돌아가는 갈래가 그 미지수를 우변에 다시 데려오고, 무한한 계산이 일차방정식 하나로 바뀐다.

1STEP 1

던지기를 라운드로 줄 세우기

라운드가 세 사람을 줄 세운다.

all three flip n times ⇔ rounds 1,…,n-1 are all tails and round n is all heads

2STEP 2

한 라운드가 만들 수 있는 경우 나열하기

한 라운드에 똑같이 나올 결과가 여덟이다.

P(one specific triple) = (1/2)³ = 1/8

3STEP 3

여덟 가지를 세 갈래 운명으로 분류하기

그것이 세 갈래 운명으로 나뉜다.

HHH: win 1/8, TTT: no change 1/8, 6 mixed: loss 6/8

4STEP 4

똑같은 되풀이를 알아채기

한 갈래는 상황을 그대로 되풀이한다.

P(still undecided after n rounds) = (1/8)ⁿ ⟶ 0

5STEP 5

이름 붙이고 방정식 하나 세우기

그것이 자기 참조 방정식 하나를 준다.

P = 1/8 · 1 + 1/8 · P + 6/8 · 0 = 1/8 + 1/8P

6STEP 6

P에 대해 풀기

풀면 1/7, 보기 (C).

8P = 1 + P → 7P = 1 → P = 1/7

정답

1/7

크기가 적절하다. 1라운드에서 이기는 경우만으로도 이미 1/8 = 0.125를 기여하므로 답은 1/8보다 반드시 커야 하고, 따라서 (A)는 제외된다. 1라운드 이후로 넘어가는 길은 확률 1/8짜리 '뒷면만 나오는 문' 하나뿐이므로, P = 1/8 + 1/8P와 P ≤ 1에서 P ≤ 1/4이고, 이 값을 다시 넣으면 P ≤ 1/8 + 1/8 · 1/4 = 0.15625가 된다. 이는 (C) ≈ 0.167, (D) 0.25, (E) ≈ 0.333에 비해 너무 작다. 결국 1/7 ≈ 0.1429만 살아남는다. 대칭을 이용한 더 날카로운 확인도 있다. 아무것도 결정하지 못하는 뒷면만 나온 라운드를 모두 무시하고, 무언가를 결정하는 첫 라운드만 보자. 그 라운드는 TTT를 제외한 7가지 패턴 중 어느 것이든 똑같이 나올 수 있고 그중 정확히 하나가 HHH이므로, 곧바로 1/7을 얻는다.

💡핵심 정리

상황이 너를 처음 자리로 그대로 되돌려 보낼 수 있다면, 답에 이름을 붙이고 그 이름이 방정식 하나의 양쪽에 모두 나타나게 하라.

던지기를 라운드로 줄 세우기
한 라운드가 만들 수 있는 경우 나열하기
여덟 가지를 세 갈래 운명으로 분류하기
똑같은 되풀이를 알아채기
이름 붙이고 방정식 하나 세우기
P에 대해 풀기