AMC 10 · 2016 · #21

학년 10 geometry-2d

유형 Telescoping Collapse └ 세부 유형 Difference-Split Collapse

coordinate-geometryrecursive-sequencetelescoping-sumarea-triangles coordinate-geometrytelescoping-sum ↑ 선수 지식: coordinate-geometryarea-triangles

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

어떤 작도가 끝없이 되풀이되며 회차마다 더 작은 삼각형을 만든다. 그 넓이를 모두 더하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{6}$

(B)

$\frac{1}{4}$

(C)

$\frac{1}{3}$

(D)

$\frac{1}{2}$

(E)

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

끝없이 이어지는 그림은 끝까지 그릴 수 없으므로, 그림을 식으로 바꿔야 한다. 도구 #1(그림 그리기)로 D를 원점에 두고 정사각형을 좌표평면에 올리면, "CD에 수선의 발을 내린다"가 "x좌표는 그대로 두고 y를 0으로 바꾼다"가 되고, 대각선 BD는 직선 y = x가 된다. 도구 #4(변수 도입하기)로 지금의 수선의 발을 Q_i = (q, 0)이라 두면 모든 회차를 한 번에 다룰 수 있다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 한 회차 전체를 q를 다음 값으로 보내는 하나의 규칙으로 바꾸고, 도구 #5(패턴 찾기)로 그 규칙에서 일반항을 읽어낸다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 목표를 삼각형 하나의 넓이와 그 합, 두 조각으로 나눈다. 도구 #15(다르게 정리하기)로 각 넓이를 두 분수의 차로 고쳐 쓰면 항들이 서로 지워지고, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 우선 앞의 N개만 더한 뒤 남는 항이 어떻게 줄어드는지 지켜보며 마무리한다.

1STEP 1

정사각형을 좌표평면에 올리기

좌표가 한 회차를 계산 가능하게 만든다.

D=(0,0), C=(1,0), B=(1,1), A=(0,1), BD: y = x, Q₁=(1/2,0)

2STEP 2

한 회차를 문자로 처리하기

문자 하나가 회차 전체를 담는다.

Q_i=(q,0), AQ_i: y = 1 - x/q

3STEP 3

대각선과 만나 P_i 찾기

교점이 깔끔하게 나온다.

x = 1 - x/q ⟹ x = q/(q+1), P_i = (q/(q+1),q/(q+1)), Q_i+1 = (q/(q+1),0)

4STEP 4

수선의 발들의 패턴 읽기

수선의 발이 단순한 패턴을 따른다.

q_i+1 = q_i/(q_i+1), q₁ = 1/2 ⟹ DQ_i = q_i = 1/(i+1)

5STEP 5

삼각형 하나의 넓이

각 넓이는 이웃한 두 값의 곱이다.

[△ DQ_iP_i] = 1/2 · DQ_i · DQ_i+1 = 1/2·1/(i+1)·1/(i+2) = 1/(2(i+1)(i+2))

6STEP 6

각 넓이를 차로 고쳐 쓰기

그것은 차로 다시 쓰인다.

1/(i+1) - 1/(i+2) = (i+2)-(i+1)/(i+1)(i+2) = 1/(i+1)(i+2) ⟹ [△ DQ_iP_i] = 1/2(1/(i+1) - 1/(i+2))

7STEP 7

더하면서 무너지는 것 지켜보기

합이 1/4로 무너진다, 보기 (B).

Σ_i=1^N1/2(1/(i+1)-1/(i+2)) = 1/2(1/2-1/(N+2)) → 1/4 = (B)

정답

1/4

직접 더해서 중간 합을 확인해 보자. 처음 다섯 개의 넓이는 1/12, 1/24, 1/40, 1/60, 1/84이고 그 합은 5/28 ≈ 0.179인데, 일반식도 1/2(1/2-1/7) = 5/28로 일치한다. 이 계산 하나로 세 선택지가 한꺼번에 지워진다. 모든 중간 합은 1/4보다 작으므로 (C) 1/3, (D) 1/2, (E) 1은 불가능하고, 반대로 삼각형 다섯 개만으로도 합이 이미 (A) 1/6 ≈ 0.167을 넘는다. 남는 것은 1/4뿐이다. 도형으로 봐도 그럴듯하다: 각 삼각형 DQ_iP_i는 DC와 대각선 사이의 넓이 1/2인 영역 안에 들어 있고, 삼각형들은 D 근처의 점점 얇아지는 조각 위에 겹쳐 쌓이므로 1/4 정도의 값이 알맞다.

💡핵심 정리

끝없는 합의 각 항을 어떤 분수에서 그다음 분수를 뺀 꼴로 쓸 수 있다면, 거의 모든 것이 서로 지워지고 맨 처음 분수 하나만 남는다.

정사각형을 좌표평면에 올리기
한 회차를 문자로 처리하기
대각선과 만나 P_i 찾기
수선의 발들의 패턴 읽기
삼각형 하나의 넓이
각 넓이를 차로 고쳐 쓰기
더하면서 무너지는 것 지켜보기