AMC 10 · 2016 · #22
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순환소수는 모습만 바꾼 분수이므로 도구 #13(대수로 바꾸기)이 입구다. 0.abcdef = abcdef/999999로 쓰면 1/n에 대한 소수 조건이 n ∣ 999999이라는 약수 조건으로 바뀌고, 같은 방식으로 (n+6) ∣ 9999가 된다. 숫자 배열 문제가 약수 문제로 바뀌는 것이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 길이 4 조건을 먼저 처리하라고 알려 준다. 9999가 훨씬 작고, 99 × 101로 갈라지면서 소수 101이 결정적인 일을 하기 때문이다. 이 소수가 101 ∣ (n+6)을 강제하여 후보를 몇 개로 줄인다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 그 몇 개를 모두 적고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 999999 조건을 써서 하나만 남긴다. 전체 풀이는 깔때기다: 약수 조건 두 개, 소수 하나, 후보 셋, 생존자 하나.
순환소수를 분수로 바꾸기
각 순환소수가 나누어떨어짐 사실이 된다.
0.abcdef에 10⁶을 곱하면 마디가 정확히 하나 밀리므로, 원래 수를 빼면 999999분의 정수만 남는다.
10의 거듭제곱을 곱하면 소수가 정확히 한 덩어리만큼 밀리므로, 원래 값을 빼면 정수가 남는다.
▸ 왜?
10의 거듭제곱을 곱하면 모든 자릿수가 그만큼 밀릴 뿐 어느 것도 달라지지 않는다.
▸ 왜?
끝없는 두 꼬리가 똑같으므로, 뺄셈이 그것을 통째로 없앤다.
주기를 '정확히'로 만들기
'정확히'는 각각 조건이 둘이라는 뜻이다.
더 짧은 9의 나열을 나눈다는 것이 곧 주기가 더 짧다는 뜻이므로, 그런 약수는 금지해야 한다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities9999를 소인수분해하고 강제되는 소수 찾기
인수분해가 한 소수를 강제한다.
9999가 99보다 더 가진 것은 소수 101뿐이므로, 주기 2를 벗어나려면 그 소수를 지녀야 한다.
6.NS.B.4Identify Subproblemsn의 후보를 빠짐없이 적기
그러면 후보가 셋만 남는다.
101이 강제되면 n+6은 101에 99의 약수를 곱한 수이고, n ＜ 1000이라는 한계가 셋만 남긴다.
6.EE.B.6Make A Systematic List세 후보를 999999로 걸러내기
다른 조건이 그것을 걸러낸다.
어떤 수가 999999를 나누려면 그 수의 소인수 구성이 통째로 3³ × 7 × 11 × 13 × 37 안에 들어 있어야 한다.
6.NS.B.2Eliminate Possibilities두 주기를 확인하고 구간 읽기
살아남은 하나가 구간을 지목한다, 보기 (C).
두 소수를 실제로 적어 보는 것이 약수 논증과 자릿수가 일치한다는 최종 영수증이다.
6.NS.B.3Eliminate Possibilitiesk자리 마디로 순환하는 소수는 9가 k개인 수를 분모로 하는 분수이므로, '주기 6'은 n이 999999를 나눈다는 뜻이고 '주기 4'는 n+6이 9999를 나눈다는 뜻이며, 9999에 숨은 소수 101이 n+6을 몇 개로 좁혀 결국 n = 297만 살아남는다.
- 순환소수를 분수로 바꾸기
- 주기를 '정확히'로 만들기
- 9999를 소인수분해하고 강제되는 소수 찾기
- n의 후보를 빠짐없이 적기
- 세 후보를 999999로 걸러내기
- 두 주기를 확인하고 구간 읽기