AMC 10 · 2016 · #23

학년 10 geometry-3d

유형 Solid Volume by Decomposition └ 세부 유형 Fraction or Difference of a Bounding Solid

absolute-valuespatial-visualizationvolume-pyramidsymmetry-argument spatial-visualizationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: absolute-valuevolume-pyramid

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

절댓값 부등식으로 기술된 두 입체가 겹친다. 공유하는 부피를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{6}$

(B)

$\frac{1}{4}$

(C)

$\frac{1}{3}$

(D)

$\frac{1}{2}$

(E)

풀이 과정

전략 공간 상상하기

공간에서 두 입체가 겹치는 모습을 한 번에 보는 것은 어렵다. 그래서 그림을 수평으로 잘라 높이 하나씩 다루는 것이 핵심 전략이다. 두 부등식은 모두 |x|+|y|에 z만 들어 있는 항을 더한 같은 꼴이므로, z를 하나로 고정하면 각각 |x|+|y| ≤ (어떤 수)라는 평면 조건, 즉 꼭짓점으로 선 정사각형이 된다. 두 정사각형은 중심이 같으므로 하나가 다른 하나 안에 그대로 들어가고, 겹친 부분은 그저 더 작은 쪽이다. 그러면 문제 전체가 '높이가 바뀔 때 더 작은 정사각형의 크기가 어떻게 변하는가'라는 수 하나를 추적하는 일로 줄어든다. 그 변화를 보고 나면 쌓인 정사각형들이 평범한 각뿔임을 알아볼 수 있고, 미적분 없이 각뿔의 부피 공식으로 마무리할 수 있다.

1STEP 1

각 부등식이 그리는 도형 보기

각 부등식이 중심 둘레의 입체를 그린다.

|x|+|y|+|z| ≤ 1 centered at (0,0,0), |x|+|y|+|z-1| ≤ 1 centered at (0,0,1)

2STEP 2

높이를 고정해 자르기

높이를 고정하면 각각이 정사각형이 된다.

z fixed ⟹ |x|+|y| ≤ 1-|z| and |x|+|y| ≤ 1-|z-1|

3STEP 3

더 작은 정사각형만 남기기

더 작은 정사각형만 살아남는다.

k(z)=min(1-|z|, 1-|z-1|), k(z) ≥ 0 ⇔ 0 ≤ z ≤ 1, k(z)=min(z, 1-z)

4STEP 4

단면을 쌓아 두 각뿔 만들기

그 크기는 가운데에서 가장 크고 양 끝에서 0이 된다.

k(0)=0, k (1/2)=1/2, k(1)=0, k linear on each half

5STEP 5

공통 밑면 정사각형 재기

따라서 그 모양은 각뿔 둘이다.

|x|+|y| ≤ k → area=(2k)(2k)/2=2k²; k=1/2 → area=2·1/4=1/2

6STEP 6

두 각뿔의 부피 더하기

더하면 1/6, 보기 (C).

V = 2·1/3·1/2·1/2 = 2·1/12 = 1/6

정답

1/6

세 가지 확인이 모두 일치한다. 첫째, 크기: 이 영역은 |x| ≤ 1/2, |y| ≤ 1/2, 0 ≤ z ≤ 1인 상자 안에 들어가는데 그 상자의 부피가 1이므로 답은 1보다 충분히 작아야 하고, 선택지 (E)는 애초에 불가능하다. 1/6은 이 한계 안에 넉넉히 들어온다. 둘째, 팔면체 전체와의 비교: |x|+|y|+|z| ≤ 1 자체가 밑넓이 2, 높이 1인 각뿔 두 개이므로 부피는 2·1/3 · 2 · 1=4/3이고, 겹친 부분 1/6은 정확히 그 1/8이다. 이는 겹친 부분이 길이가 절반인 축소판이라는 사실과 맞아떨어진다. 모든 길이를 절반으로 줄이면 부피는 2³=8로 나뉘기 때문이다. 셋째, 점 검사: (0,0,1/2)은 두 부등식을 모두 만족하며 두 각뿔 안에 있고, (3/10,0,9/10)은 3/10+9/10=6/5 ＞ 1이므로 첫 번째 부등식에서 탈락하는데, 단면 규칙으로도 k (9/10)=1/10 ＜ 3/10이라 똑같이 제외된다. 모형과 원래 부등식이 같은 판정을 내린다.

💡핵심 정리

두 입체가 겹칠 때는 같은 높이에서 둘 다 잘라 보라. 각 조건은 '이 정사각형 안에 있어라'가 되고, 겹친 부분은 더 작은 정사각형만 남으며, 그 정사각형이 커졌다 작아지는 모습이 곧 우리가 재려는 도형이다.

각 부등식이 그리는 도형 보기
높이를 고정해 자르기
더 작은 정사각형만 남기기
단면을 쌓아 두 각뿔 만들기
공통 밑면 정사각형 재기
두 각뿔의 부피 더하기