AMC 10 · 2016 · #4
학년 8 rate-ratio ratio-proportionsystems-of-equationscomplementary-angles convert-to-algebra ↑ 선수 지식: ratio-proportion
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
두 각의 비를 알고 한쪽의 여각이 다른 쪽 여각의 두 배다. 둘의 합을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
75
(B)
90
(C)
135
(D)
150
(E)
270
풀이 과정
전략 변수 도입하기
비 5:4는 변수 하나를 심기에 자연스러운 자리다. 두 각을 5x와 4x로 쓰면 미지수 하나만 남는다(도구 #4). 그다음 두 가지 영어 조건 — '여각'과 '두 배' — 을 바로 대수로 옮긴다(도구 #13): 각 여각은 90에서 각을 뺀 값이고, '두 배'는 2를 곱한 등호다. 어느 여각이 더 큰지를 정하는 것은 작지만 핵심적인 부분 문제다(도구 #7): 큰 각의 여각이 더 작으므로, 두 배가 된 여각은 4x 각의 여각이어야 한다. 이것만 확정하면 일차방정식 하나로 x가 나온다.
1STEP 1
비로 각에 이름 붙이기
문자 하나가 두 각을 모두 이름 짓는다.
큰 각 = 5x, 작은 각 = 4x
비는 같은 크기 부분의 묶음일 뿐이라, 부분 크기 x 하나로 두 각을 한꺼번에 나타낼 수 있다.
비는 같은 조각의 조리법이므로, 조각 하나의 크기가 두 각을 한꺼번에 나타낸다.
▸ 왜?
각 조각은 전체의 같은 몫 하나이므로, 조각을 세는 것만으로 각이 정해진다.
분수는 하나를 똑같이 나눈 몫아래 수는 하나를 똑같이 몇 조각으로 잘랐는지를, 위 수는 그중 몇 조각인지를 말한다 — 그래서 같은 크기 조각은 세기만 하면 더해진다.
▸ 왜?
두 각이 같은 조각으로 지어졌으므로, 한 각을 알면 조각 크기가 정해지고 다른 각도 정해진다.
비례하는 양은 함께 커진다두 양이 일정한 비를 유지하면 하나를 두 배 하면 다른 하나도 두 배가 되므로, 아는 비로 모르는 비를 대신할 수 있다.
2STEP 2
각 여각 쓰기
각 여각이 곧장 따라 나온다.
90 - 5x (5x의 여각), 90 - 4x (4x의 여각)
큰 각이 90°를 더 많이 차지하므로 남는 여각은 더 작아진다.
7.G.B.5Convert To Algebra3STEP 3
'두 배'를 방정식으로 바꾸기
큰 각의 여각이 더 작다.
90 - 4x = 2(90 - 5x)
'두 배'는 작은 양에 2를 곱한 등호 그 자체다.
7.EE.B.4Convert To Algebra4STEP 4
부분 크기 구하기
풀면 부분 크기가 15다.
90 - 4x = 180 - 10x → 6x = 90 → x = 15
미지수를 한쪽으로, 숫자를 다른 쪽으로 모은 뒤 나누어 x를 풀어낸다.
8.EE.C.7Introduce A Variable5STEP 5
두 각 더하기
더하면 135, 보기 (C).
5x + 4x = 9x = 9(15) = 135 = (C)
x를 알면 합은 그 부분 크기 9개일 뿐이다.
7.EE.B.3Identify Subproblems정답
135
두 각 75°와 60°는 모두 예각이고 비가 75:60 = 5:4로 문제와 일치한다. 여각은 각각 15°와 30°이며 30°는 정확히 15°의 두 배이므로 모든 조건이 성립한다. 합 135°는 선택지에 있고 180°보다 작아 두 예각의 합으로 타당하다.
💡핵심 정리
비를 x라는 같은 크기 부분으로 바꾸고, 평범한 말로 된 조건 하나하나를 방정식의 조각으로 만들어 보자.
- 비로 각에 이름 붙이기
- 각 여각 쓰기
- '두 배'를 방정식으로 바꾸기
- 부분 크기 구하기
- 두 각 더하기