AMC 10 · 2016 · #7
학년 6 counting답을 골라 클릭하세요.
100 개를 손으로 전부 따라가는 것은 느리고 실수하기 쉽지만, 각 회차 뒤에 살아남는 수들은 아주 규칙적입니다. 그래서 먼저 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 1~2회차에서 누가 살아남는지 정확히 보고, 그다음 도구 #5(패턴 찾기)로 한 회차의 생존자를 다음 회차의 생존자로 바꾸는 규칙을 증명합니다. 그 규칙만 확정되면 문제는 "하나만 남을 때까지 몇 회차가 필요한가" 를 세는 일로 줄어듭니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 짧은 목록으로 값싸게 검산해 줍니다.
1회차 실행하기
한 회차가 짝수만 남긴다.
첫 번째 수부터 시작해 하나 걸러 하나씩 지우면 홀수만 정확히 사라집니다.
4.OA.C.5Make A Systematic List2회차 실행하기
두 번째는 4의 배수만 남긴다.
2의 배수 목록에서 첫 번째부터 하나 걸러 지우면 4의 배수만 남습니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List간격이 두 배가 되는 규칙 증명하기
간격이 매번 두 배가 됨이 증명된다.
간격이 일정한 목록에서 두 번째마다 남기면, 남는 수들 사이의 간격은 그냥 두 배가 됩니다.
고르게 늘어선 목록에서 하나 건너 하나를 남기면, 남은 것 사이의 간격이 두 배가 될 뿐이다.
▸ 왜?
살아남은 것도 여전히 같은 간격으로 오르되, 이제 그 간격을 두 번씩 건너뛴다.
▸ 왜?
쓸어낼 때마다 간격이 두 배가 되므로, 여러 번 뒤의 간격은 2의 거듭제곱이다.
회차별 생존자 수 세기
생존자를 세면 하나까지 줄어든다.
회차마다 목록의 약 절반이 사라지므로, 여섯 번이면 100 개가 하나로 줄어듭니다.
6.NS.B.2Look For A Pattern마지막 생존자 찾기
마지막 하나는 64, 보기 (D).
자리 번호가 끝까지 계속 반으로 나누어떨어지는 수만 모든 회차를 견딜 수 있고, 그것이 목록 안의 가장 큰 2의 거듭제곱입니다.
6.EE.A.1Look For A Pattern회차마다 두 번째 수만 남기니 생존자 사이의 간격이 매번 두 배가 되고, 끝까지 남는 단 하나의 수는 목록 안에서 가장 큰 2의 거듭제곱이에요.
- 1회차 실행하기
- 2회차 실행하기
- 간격이 두 배가 되는 규칙 증명하기
- 회차별 생존자 수 세기
- 마지막 생존자 찾기