AMC 10 · 2016 · #9
학년 6 geometry-2d perimeterarea-rectanglessystems-of-equations convert-to-algebra ↑ 선수 지식: perimeter
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
일정한 간격의 기둥이 직사각형을 두르고, 한 변이 다른 변의 두 배를 담는다. 넓이를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
256
(B)
336
(C)
384
(D)
448
(E)
512
풀이 과정
전략 변수 도입하기
두 변의 기둥 수는 '두 배'라는 관계와 정해진 총합으로 연결되어 있으므로, 짧은 변의 기둥 수를 변수로 두면 문장이 하나의 방정식이 된다. 간단한 그림은 공유되는 모서리 기둥을 두 번 세지 않게 도와주고, 한 변의 기둥 수를 알면 길이는 작은 곱셈 문제로 풀린다.
1STEP 1
변마다 기둥 수에 이름 붙이기
문자 하나가 두 종류 변의 기둥 수를 모두 이름 짓는다.
n = 짧은 변의 기둥 수, 2n = 긴 변의 기둥 수
모르는 기둥 수에 이름을 붙이면 '두 배'라는 규칙이 추측이 아니라 계산이 된다.
6.EE.B.6Introduce A Variable2STEP 2
직사각형 둘레의 기둥 세기
모서리를 두 번 센 것을 바로잡아야 한다.
2n + 2(2n) - 4 = 20
모서리 기둥은 두 변이 공유하므로 변마다 한 번씩 세면 딱 한 번 더 세게 된다.
모퉁이 기둥은 두 변이 공유하므로, 변마다 한 번씩 세면 정확히 하나만큼 더 세어진다.
▸ 왜?
각 모퉁이는 정확히 두 변에 속하므로, 변을 따라 더하면 두 번 지나게 된다.
두 번 세었으면 반으로모든 것을 양쪽 끝에서 한 번씩 세었다면 합계는 정확히 두 배이므로 반으로 나누면 바로잡힌다.
▸ 왜?
나머지 기둥은 정확히 한 변에만 속하므로, 바로잡을 것은 모퉁이뿐이다.
일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
3STEP 3
n 구하기
풀면 짧은 변에 기둥이 4개다.
6n - 4 = 20 → 6n = 24 → n = 4
뺄셈을 먼저 되돌리고 곱셈을 되돌리면 방정식이 n 하나의 값으로 풀린다.
6.EE.B.7Introduce A Variable4STEP 4
기둥 수를 변의 길이로 바꾸기
기둥이 아니라 간격이 길이를 준다.
3 × 4 = 12 yd, 7 × 4 = 28 yd
기둥은 울타리 조각이 아니라 말뚝이라서, 한 줄의 기둥은 기둥 수보다 간격이 하나 적다.
4.OA.A.3Draw A Diagram5STEP 5
넓이 구하기
곱하면 336, 보기 (B).
12 × 28 = 336 제곱야드
직사각형의 넓이는 두 변의 길이를 곱한 것일 뿐이다.
4.MD.A.3Identify Subproblems정답
336
기둥 수를 직접 확인하자. 4 + 8 + 4 + 8 = 24로 변별 합계이고, 두 번 세인 모서리 4개를 빼면 20개로 Carl이 산 수와 정확히 같다. 12 x 28 직사각형의 넓이는 336제곱야드로 답 (B)이며 주어진 선택지들 사이에 자연스럽게 놓인다.
💡핵심 정리
기둥이 아니라 간격을 세라. 한 줄의 기둥은 항상 기둥보다 간격이 하나 적고, 모서리는 두 변이 함께 쓴다.
- 변마다 기둥 수에 이름 붙이기
- 직사각형 둘레의 기둥 세기
- n 구하기
- 기둥 수를 변의 길이로 바꾸기
- 넓이 구하기