AMC 10 · 2017 · #11
학년 8 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
모르는 것이 둘입니다 — 빠진 각과 변의 개수 — 그런데 문제가 주는 수는 2017 하나뿐입니다. 도구 #4 (변수 도입하기)로 둘 다 이름 붙입니다: 빠진 각을 x, 변의 개수를 n이라 하면 2017 + x = (n-2) · 180입니다. 미지수 둘에 식 하나면 보통 해가 여러 개여서, 이 식만으로는 부족합니다. 여기서 구해 주는 것이 볼록이라는 단어입니다. 볼록은 0 ＜ x ＜ 180을 강제하는데, 이것이 바로 도구 #14 (극단의 원리)입니다 — x를 양쪽 끝으로 밀어 보면 진짜 내각의 합이 폭 180짜리 창 안에 갇힙니다. 연속한 180의 배수는 정확히 180만큼 떨어져 있으므로, 그런 창 안에는 180의 배수가 많아야 하나뿐입니다. 그러면 문제 전체가 도구 #3 (가능성 지우기)로 바뀝니다: 근처의 180의 배수를 적고, 창 밖에 있는 것을 지우면 하나만 남습니다.
빠진 각에 이름 붙이기
참 합계는 보고된 값에 빠진 각을 더한 것이다.
건너뛴 각을 되돌려 놓으면 정확히 다각형이 가질 수 있는 합에 떨어져야 하고, 그런 합은 모두 180의 배수입니다.
8.G.A.5Introduce A Variable볼록 조건으로 합을 조이기
볼록 조건이 그 각을 180 아래로 유지한다.
180의 배수는 180 간격으로 놓인 사다리의 발판이라, 폭이 180밖에 안 되는 창으로는 발판 두 개를 동시에 볼 수 없습니다.
가능한 합은 평각만큼 떨어진 사다리의 가로대이므로, 그만큼 좁은 창에는 하나만 보인다.
▸ 왜?
다각형은 삼각형으로 갈라지고 각 삼각형이 평각을 하나씩 보태므로, 합이 그 간격으로 오른다.
▸ 왜?
고르게 놓인 사다리는 자기 간격보다 좁은 틈에 두 가로대를 보일 수 없다.
창 안의 유일한 180의 배수 찾기
그 창에 맞는 합계는 하나뿐이다.
2017을 180으로 나누면 지금 어느 발판 아래에 서 있는지 알 수 있고, 창에 들어오는 것은 바로 위의 발판뿐입니다.
6.NS.B.2Eliminate Possibilities빼서 각을 되찾기
빼면 143, 보기 (D).
센 값에 건너뛴 값을 더하면 진짜 합이 되므로, 건너뛴 각은 그 차이일 뿐입니다.
8.EE.C.7Introduce A Variable다각형의 내각의 합은 언제나 180의 배수이고 볼록다각형의 각은 모두 180보다 작으므로, 빠뜨린 각은 2017에서 바로 다음 180의 배수까지의 거리입니다.
- 빠진 각에 이름 붙이기
- 볼록 조건으로 합을 조이기
- 창 안의 유일한 180의 배수 찾기
- 빼서 각을 되찾기