AMC 10 · 2017 · #12
학년 4 number-theory답을 골라 클릭하세요.
이 문제의 숨은 핵심은 단 하나의 번역입니다: 말 k는 k분마다 출발점으로 돌아오므로, 시각 T에 출발점에 있는 것은 k가 T를 나누어떨어뜨릴 때뿐입니다. 도구 #4 (변수 도입하기)로 만나는 시각을 T로 이름 붙이면 경주 전체를 나눗셈(약수) 조건으로 다시 쓸 수 있습니다. 그러면 "적어도 5마리가 출발점에 있다"는 "T가 1부터 10 사이 약수를 적어도 5개 가진다"가 되고, 그런 최소의 T는 도구 #6 (추측하고 확인하기)로 쉽게 찾을 수 있습니다: T=1,2,3,…을 차례로 시험하며 자격 있는 약수를 세고, 도구 #2 (빠짐없이 나열하기)로 그 수를 깔끔하게 정리합니다. 10마리 전부가 아니라 5마리만 필요하므로 T는 모두 만나는 시각 S=2520보다 훨씬 작아, 작은 수를 손으로 확인하는 일은 금방 끝납니다.
위치를 나눗셈으로 바꾸기
출발점에 있는 것은 단순한 나누어떨어짐이다.
말은 자기 바퀴가 딱 떨어지는 순간에만 출발선을 만나므로, 돌아오는 시각은 정확히 k의 배수입니다.
말은 자기 바퀴 수가 정수일 때만 출발선을 지나므로, 돌아오는 시각은 자기 한 바퀴 시간의 배수다.
▸ 왜?
한 바퀴를 돌면 모든 것이 처음 자리로 돌아오므로, 그 주기로 되풀이된다.
▸ 왜?
어떤 시각이 값을 지니려면 한 바퀴 시간으로 나눈 나머지가 없어야 한다.
목표를 다시 쓰기
목표가 약수 세기가 된다.
5마리를 요구하는 것은 T에게 작은 약수 5개를 동시에 지니라는 것 — 오직 약수에 관한 질문입니다.
4.OA.A.3Introduce A Variable위로 탐색하며 약수 세기
위로 훑으면 12가 먼저 나온다.
수를 하나씩 올라가며, 작은 약수가 다섯 말을 먹일 만큼 풍부한 첫 수가 답입니다.
4.OA.C.5Guess And CheckT의 각 자리 숫자 더하기
자릿수 합은 3, 보기 (B).
시각 자체를 구하고 나면, 자릿수 합은 마지막에 한 번 더하는 일일 뿐입니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List말은 시계가 자기 번호의 배수가 될 때마다 출발점에 돌아오니, 5마리가 만나는 때를 찾는 것은 작은 약수 5개를 가진 가장 작은 시각을 찾는 것 — 그게 12이고, 자릿수 합은 3입니다.
- 위치를 나눗셈으로 바꾸기
- 목표를 다시 쓰기
- 위로 탐색하며 약수 세기
- T의 각 자리 숫자 더하기