AMC 10 · 2017 · #14
학년 4 counting답을 골라 클릭하세요.
"몇 가지 방법"을 묻고 있으므로 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 맞다: 막연히 추측하지 말고 정해진 순서대로 경우를 만든다. 이 문제의 핵심은 Alice인데, 다섯 명 중 세 명이 그녀의 옆자리에서 금지되기 때문이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 Alice의 위치 — 끝자리(이웃 하나)냐 가운데(이웃 둘)냐 — 로 경우를 나눈다. 두 상황은 매우 다르게 움직이기 때문이다. 도구 #1(그림 그리기) — 의자 5개를 한 줄로 — 은 "이웃"을 눈에 보이게 만들어 각 배치를 확인하기 쉽게 한다.
Alice 옆에 앉을 수 있는 사람
제약이 심한 사람 옆에 앉을 수 있는 사람은 둘뿐이다.
세 사람이 Alice 옆에서 금지되므로 남는 사람은 둘뿐이다.
4.OA.A.3Identify SubproblemsAlice의 자리로 나누기
그 사람의 자리가 경우를 둘로 나눈다.
끝자리는 Alice를 한 이웃에, 가운데 자리는 두 이웃에 노출시킨다.
4.OA.A.3Draw A DiagramAlice가 끝자리에 앉는 경우
끝자리는 이웃이 하나뿐이다.
Alice의 이웃 하나를 정하고 나머지를 배열한 뒤, Derek과 Eric이 부딪히는 경우만 뺀다.
4.NBT.B.5Make A Systematic ListAlice가 가운데 자리에 앉는 경우
가운데 자리는 둘이라 더 빡빡하다.
Alice를 Derek과 Eric 사이에 앉히면 한 번에 모든 규칙이 만족된다.
4.NBT.B.5Make A Systematic List두 경우를 더하기
경우를 더하면 28, 보기 (C).
겹치지 않는 별개의 경우는 그냥 더하면 된다.
서로 겹치지 않는 경우는 그냥 더하면 된다.
▸ 왜?
각 자리 배치는 정확히 한 경우에 드므로, 두 번 세어지거나 빠지는 것이 없다.
▸ 왜?
한 경우 안에서는 남은 자리가 서로 상관없이 채워지므로, 그 개수가 먼저 곱해진다.
한 사람이 대부분의 이웃을 막을 때는 그 사람이 어디 앉는지로 세면, 나머지는 몇 개의 쉬운 경우로 정리된다.
- Alice 옆에 앉을 수 있는 사람
- Alice의 자리로 나누기
- Alice가 끝자리에 앉는 경우
- Alice가 가운데 자리에 앉는 경우
- 두 경우를 더하기