AMC 10 · 2017 · #15

학년 11 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In

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📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

세 삼각함수 항의 합이 처음으로 0이 되어야 한다. 그 점을 담은 구간을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(0,1)

(B)

(1, 2)

(C)

(2, 3)

(D)

(3, 4)

(E)

(4,5)

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

sin x + 2cos x + 3tan x = 0을 정확히 푸는 것은 불가능하고, 문제도 해의 값이 아니라 해가 들어 있는 구간만 묻는다. 핵심은 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이다: tan x는 x = π/2 + kπ에서 발산하므로, 양의 수직선을 그 점들에서 자른 뒤 끊기지 않는 조각 하나씩 살펴본다. 도구 #15(다르게 정리하기)는 tan x = (sin x)/(cos x)를 써서 f를 다시 써, 부호를 어림하지 않고 바로 읽을 수 있게 만든다. 도구 #6(추측하고 확인하기)은 세 삼각함수 값이 모두 정확한 점 x = 5π/4 하나를 시험점으로 고른다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)으로 앞쪽 구간들을 지운다 — "가장 작은"이라는 조건이 요구하는 일이다.

1STEP 1

f의 값이 없는 곳 찾기

한 항이 정의되지 않아 직선이 조각으로 잘린다.

f 정의 안 됨: x = π/2 + kπ → 조각 (0, π/2), (π/2, 3π/2), (3π/2, 5)

2STEP 2

pi/2 이전에는 전부 양수

첫 조각에서는 모두 양수다.

0 ＜ x ＜ π/2 → sin x ＞ 0, cos x ＞ 0, tan x ＞ 0 → f(x) ＞ 0

3STEP 3

부호를 읽도록 f 다시 쓰기

다시 쓰면 다음 조각의 부호가 읽힌다.

f(x) = sin x(1 + 3/(cos x)) + 2cos x, π/2 ＜ x ≤ π → f(x) ＜ 0

4STEP 4

pi 이전에는 교차가 없다

따라서 이른 곳에서는 교차가 없다.

f ＞ 0 on (0, π/2), f 정의 안 됨: π/2, f ＜ 0 on (π/2, π]

5STEP 5

정확한 점 5pi/4에서 확인

정확한 한 점에서 다시 양수가 된다.

f(5π/4) = -√(2)/2 + 2(-√(2)/2) + 3(1) = 3 - 3√(2)/2 ＞ 0

6STEP 6

부호 변화가 근을 가둔다

그 부호 변화가 근을 가둔다, 보기 (D).

f(π) = -2 ＜ 0 ＜ f(5π/4) → ∃ x₀ ∈ (π, 5π/4) ⊂ (3,4), f(x₀) = 0 → (D)

정답

(3, 4)

구간을 더 좁혀 보면 근이 (3,4)의 끝에 붙어 있지 않고 안쪽에 있음을 알 수 있다: f(3.7) ≈ -0.35, f(3.8) ≈ 0.13이므로 가장 작은 양수 근은 x ≈ 3.78 근처다. 이는 (3,4) 안에 여유 있게 들어가므로 (D)가 맞다. 헷갈리기 쉬운 오답은 (B)이다: f는 실제로 (1,2) 안에 있는 x = π/2 ≈ 1.571을 지나며 아주 큰 양수에서 아주 큰 음수로 뒤집힌다. 하지만 π/2에서 f는 값이 없으므로 그 뒤집힘은 점근선이지 근이 아니다 — 정의역을 먼저 확인하는 습관이 (B)를 걸러 준다.

💡핵심 정리

탄젠트가 발산하는 곳에서 수직선을 자르고 조각마다 부호를 확인하면, 부호가 진짜로 바뀌는 첫 자리에 근이 숨어 있다.

f의 값이 없는 곳 찾기
pi/2 이전에는 전부 양수
부호를 읽도록 f 다시 쓰기
pi 이전에는 교차가 없다
정확한 점 5pi/4에서 확인
부호 변화가 근을 가둔다