AMC 10 · 2017 · #18
학년 6 number-theory답을 골라 클릭하세요.
n을 직접 볼 수는 없으니, 우리가 다룰 수 있는 것 — 1을 더할 때 자리 숫자 합이 어떻게 변하는지 — 에 집중한다. 작은 수에 도구 #5(패턴 찾기)를 쓰면 깔끔한 규칙이 보인다: 1을 더하면 자리 숫자 합이 1 늘지만, 끝의 9들이 0으로 넘어가면 달라진다. 도구 #4(변수 도입하기)로 끝에 붙은 9의 개수를 k라 부르면 이 규칙이 S(n+1)의 식으로 바뀐다. 그다음 이 문제는 보기가 정해진 객관식이므로, 도구 #3(가능성 지우기)으로 각 보기를 식에 넣어 k가 자연수로 떨어지는 하나만 남긴다.
1을 더하면 생기는 변화 관찰
1을 더하면 끝자리 9가 0이 된다.
끝자리 9는 더 커질 수 없으니 1을 더하면 0으로 뒤집히고 올림이 왼쪽으로 밀린다.
끝자리의 9는 더 오를 수 없으므로, 1을 더하면 0으로 뒤집히고 받아올림이 왼쪽으로 밀린다.
▸ 왜?
수는 자릿수에 자리의 무게를 곱한 것이며, 각 자리는 9까지만 담는다.
▸ 왜?
어떤 자리에서 10에 닿으면 온전한 한 묶음이 위로 올라가고, 나머지 0이 남는다.
규칙을 식으로 쓰기
따라서 새 합은 옛 합에 1을 더하고 9들을 뺀 것이다.
결과를 바꾸는 것은 끝자리 9의 개수뿐이니, 그 개수에 이름을 붙이면 나머지는 고정된다.
6.EE.A.2Introduce A Variable각 보기에서 자연수 k 검사
대부분의 보기가 그 나누어떨어짐을 통과하지 못한다.
1275-c가 9들로 딱 맞게 쌓이지 않으면, 어떤 끝자리 9의 개수로도 그만큼 떨어뜨릴 수 없다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities남은 보기 확인
살아남는 것은 1239뿐이다, 보기 (D).
자연수 k는 실제 수 n에 대응하므로, 식의 해는 진짜로 도달 가능하다.
6.EE.B.5Eliminate Possibilities1을 더하면 자리 숫자 합은 1 늘지만, 끝에서 0으로 굴러떨어지는 9 하나마다 합이 9씩 줄어든다.
- 1을 더하면 생기는 변화 관찰
- 규칙을 식으로 쓰기
- 각 보기에서 자연수 k 검사
- 남은 보기 확인