AMC 10 · 2017 · #19

학년 8 geometry-2d

similar-trianglesratio-proportionpythagorean-theorem similar-trianglesconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: similar-triangles

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

같은 직각삼각형의 두 복사본에 정사각형을 서로 다르게 끼워 넣는다. 두 변의 비를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{12}{13}$

(B)

$\frac{35}{37}$

(C)

(D)

$\frac{37}{35}$

(E)

$\frac{13}{12}$

풀이 과정

전략 변수 도입하기

각 정사각형에 이미 x, y라는 이름이 붙어 있으므로 도구 #4(변수 도입하기)가 중심이다. 두 그림 모두에서 정사각형은 원래와 같은 모양의 작은 삼각형을 잘라내고, 그 닮은 모양이 변을 구할 수 있는 비례식으로 바뀐다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 일을 깔끔하게 나눈다 — 모서리 정사각형에서 x를, 빗변 정사각형에서 y를 구한 뒤 마지막에 합친다. 두 삼각형이 서로 닿지 않기 때문이다. 도구 #1(그림 그리기)은 '어느 작은 삼각형이 닮았는가'를 분명하게 해 주는데, 여기서 틀리기 쉬운 단 하나가 바로 그것이다.

1STEP 1

두 정사각형 문제로 나누기

두 끼워 넣기는 별개 문제다.

x/y = x/1·1/y, x 와 y 를 따로 구한다

2STEP 2

모서리의 정사각형

모서리 정사각형은 비례 하나에서 나온다.

x/(3-x)=4/3 → 7x=12 → x=12/7

3STEP 3

빗변으로 내린 높이

넓이가 빗변으로 내린 높이를 준다.

1/2·3·4=1/2·5 · h → h=12/5

4STEP 4

빗변 위의 정사각형

그것이 같은 방법으로 둘째 정사각형을 준다.

y/(h-y)=5/h → y=5h/(h+5)=60/37

5STEP 5

비 구하기

비는 37/35, 보기 (D).

x/y=12/7·37/60=37/35 → (D)

정답

37/35

비 37/35는 1보다 조금 크고, 이는 그림과 맞는다: x=12/7≈1.71, y=60/37≈1.62이므로 모서리 정사각형이 빗변 정사각형보다 살짝 크다. 두 변 길이 모두 가장 짧은 다리 3보다 작은데, 내접하는 정사각형이라면 당연하다. 또 둘 다 3-4-5 모양을 유지하는 닮음 비례식에서 나왔다. 값은 정확히 선택지 (D)에 떨어진다.

💡핵심 정리

삼각형에 넣은 정사각형은 같은 삼각형의 작은 복사본을 남기고, 그 변의 비를 맞추면 정사각형 크기가 정해진다.

두 정사각형 문제로 나누기
모서리의 정사각형
빗변으로 내린 높이
빗변 위의 정사각형
비 구하기

두 정사각형 문제로 나누기

모서리의 정사각형

빗변으로 내린 높이

빗변 위의 정사각형

비 구하기

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