AMC 10 · 2017 · #20

학년 11 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

logarithm-propertiespolynomial-rootszero-product-property convert-to-algebracasework ↑ 선수 지식: logarithm-propertiesexponents

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

로그를 높은 거듭제곱 한 것이 높은 거듭제곱의 로그와 같아야 한다. 순서쌍의 수를 세어라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

198

(B)

199

(C)

398

(D)

399

(E)

597

풀이 과정

전략 변수 도입하기

지수 2017이 무섭게 보이지만, 밑 b는 로그 안에만 등장한다. 도구 #4(변수 도입하기)가 중심이다. x = log_b a라고 이름 붙이면 식 전체가 x²⁰¹⁷ = 2017x로 줄어들고, 거기에는 a도 b도 남지 않는다. 그다음 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 그 식을 평범한 다항식처럼 다루는데, 여기서는 나누기가 아니라 인수분해가 모든 근을 지킨다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 섞이기 쉬운 두 질문을 갈라 놓는다 — x가 몇 개인가, 그리고 x 하나가 순서쌍 (a,b)를 몇 개 만드는가. 마지막으로 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 근마다 한 무리씩 세 무리로 정리해 중복 없이 센다.

1STEP 1

로그에 이름 붙이기

로그에 이름을 붙이면 단순한 방정식이 된다.

x = log_b a → x²⁰¹⁷ = 2017x

2STEP 2

나누지 말고 인수분해하기

인수분해하면 0인 해가 남는다.

x²⁰¹⁷ - 2017x = 0 → x(x²⁰¹⁶ - 2017) = 0 → x = 0 또는 x²⁰¹⁶ = 2017

3STEP 3

짝수 지수는 근이 둘

짝수 지수가 근을 둘 더 준다.

x²⁰¹⁶ = 2017 → x = ± 2017¹/2016, x ∈ {0, 2017¹/2016, -2017¹/2016}

4STEP 4

근을 순서쌍으로 되돌리기

각 밑이 각 근을 하나의 쌍으로 바꾼다.

log_b a = x ⇔ a = b^x, b ∈ {2,3,…,200} (200-2+1 = 199 개의 밑)

5STEP 5

겹치지 않게 세기

곱하면 597, 보기 (E).

3 × 199 = 597 → (E)

정답

597

밑 하나로 직접 확인해 보자. b = 2, a = 1이면 좌변은 (log₂ 1)²⁰¹⁷ = 0²⁰¹⁷ = 0, 우변은 log₂(1²⁰¹⁷) = log₂ 1 = 0이므로 성립한다. c = 2017¹/2016에 대해 a = 2^c이면 좌변은 c²⁰¹⁷ = c · c²⁰¹⁶ = 2017c, 우변은 2017log₂ a = 2017c이므로 역시 성립하고, 2017이 홀수이므로 음의 근도 같은 계산으로 성립한다. 오답 선택지는 정확히 아슬아슬한 실수들이다. 398 = 2 × 199는 x로 나누어 근 x = 0을 잃었을 때 나오고, 199는 x = 0만 남겼을 때 나온다. 세 근을 모두 지키면 597, 즉 선택지 (E)가 된다.

💡핵심 정리

로그에 이름을 붙이면 거대한 지수가 식 하나로 줄고, 나누지 말고 인수분해해서 0인 근을 지킨 다음, 근의 개수에 밑의 개수를 곱하면 된다.

로그에 이름 붙이기
나누지 말고 인수분해하기
짝수 지수는 근이 둘
근을 순서쌍으로 되돌리기
겹치지 않게 세기

로그에 이름 붙이기

나누지 말고 인수분해하기

짝수 지수는 근이 둘

근을 순서쌍으로 되돌리기

겹치지 않게 세기

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