AMC 10 · 2017 · #21
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규칙이 끝이 없어 보인다 — 근의 후보는 모든 정수이고, 집합이 언제 멈출지 알 수 있는 이유도 눈에 띄지 않는다. 그래서 문제는 반대 방향의 두 반쪽으로 나뉘고, 둘 다 해결해야 한다. 천장을 정하는 쪽에서 도구 #3(가능성 지우기)이 가장 무거운 일을 한다. 다항식의 근에 관한 나눗셈 사실 하나만 있으면, 새로 들어오는 수는 이미 들어 있는 수를 나눠야 한다는 것이 밝혀지고, 그 순간 전체 과정이 짧고 분명한 정수 목록 안에 갇힌다. 무한한 탐색이 유한한 탐색으로 바뀌는 것이다. 도달 가능성을 따지는 쪽에서는 도구 #11(거꾸로 풀기)을 쓴다. 그 짧은 목록의 수 하나하나에 대해 원하는 근에서 출발해서, 이미 집합에 있는 수만 계수로 써서 그 근을 갖는 다항식을 설계한다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 수를 하나 넣을 때마다 집합을 기록해 두 반쪽을 정직하게 유지한다. 어떤 구성이 합법이려면 그 계수들이 사용 시점에 이미 들어와 있어야 하기 때문이다. 천장과 구성이 같은 집합에서 만나면, 개수는 짐작이 아니라 증명이 된다.
근은 계수를 나눈다
정수 근은 언제나 계수를 나눈다.
빼낼 수 있는 x를 전부 빼내면, 남는 상수가 바로 x가 반드시 나눠야 하는 수이다.
변수를 뽑아낼 수 있는 만큼 뽑아내면, 남는 상수는 그 근이 반드시 나누어야 하는 수다.
▸ 왜?
다항식은 근에서 0이 되므로, 남은 상수는 그 근을 지닌 항들로 지워져야 한다.
▸ 왜?
그 지움은 나눗셈에 나머지가 없을 때에만 가능하며, 그것이 바로 나누어떨어짐이다.
10의 약수 안에 갇힌다
그것이 모든 것을 아홉 값에 가둔다.
10의 약수의 약수는 여전히 10의 약수라서, 이 아홉 개짜리 울타리를 절대 벗어날 수 없다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities두 부호와 -10 만들기
간단한 다항식이 처음 몇 개를 만든다.
x = 1에서 다항식은 계수의 합일 뿐이므로, 그 합을 0으로 만드는 것이 일의 전부다.
9.A-CED.A.1Work Backwards2에 닿으면 나머지는 따라온다
한 핵심 값에 닿으면 나머지가 열린다.
1과 어떤 수 m이 함께 들어 있으면 x + m이 -m을 공짜로 주므로, 원소는 ± 짝으로 들어온다.
6.EE.A.2Work Backwards목록만이 아니라 순서까지 확인하기
만드는 순서도 맞아야 한다.
이 규칙은 사다리다. 새 수는 이미 밟고 올라온 발판으로만 만들 수 있다.
6.EE.B.5Make A Systematic List더 넣을 것이 없다
최종 집합의 원소는 9개다, 보기 (D).
집합이 자기 원소들의 약수를 전부 삼켜 버렸으니, 규칙이 더 만들어 낼 것이 남아 있지 않다.
7.NS.A.2Eliminate Possibilities천장을 먼저 찾아라 — 새 수는 반드시 이미 있는 수를 나눠야 하므로 10의 약수를 벗어날 수 없다 — 그다음 그 아홉 개를 실제 다항식으로 전부 만들고 멈추면 된다.
- 근은 계수를 나눈다
- 10의 약수 안에 갇힌다
- 두 부호와 -10 만들기
- 2에 닿으면 나머지는 따라온다
- 목록만이 아니라 순서까지 확인하기
- 더 넣을 것이 없다