AMC 10 · 2017 · #22
학년 10 probability답을 골라 클릭하세요.
이 이동에는 시간 제한이 없으므로 끝까지 나열할 유한한 대상이 없다. 해결책은 각 출발 자리에서의 답을 미지수로 이름 붙이는 것이다. 모든 이동이 8개의 이웃을 평균 내므로, 각 미지수는 이웃 미지수들의 평균과 같아지고, 끝없는 과정이 작은 연립방정식으로 바뀐다. 정사각형의 대칭성이 먼저 내부의 9개 자리를 3개의 무리로 줄여 주므로 미지수는 3개뿐이다.
판을 그리기
판에는 안쪽과 경계가 있다.
한 걸음 거리에 있는 벽은 한 칸짜리 걸음으로 뛰어넘을 수 없으니, 결국 그 위에 내려앉아야 한다.
10.S-CP.A.1Draw A Diagram아홉 자리를 세 무리로 접기
대칭이 아홉 자리를 셋으로 접는다.
그림 전체를 90도 돌려도 아무것도 달라지지 않으니, 서로 겹쳐지는 자리들은 같은 값을 가져야 한다.
그림 전체를 4분의 1 바퀴 돌려도 달라지는 것이 없으므로, 서로 옮겨지는 자리는 같은 수를 지닌다.
▸ 왜?
회전은 판을 늘리지 않고 자기 위로 옮기므로, 규칙이 그대로 보인다.
▸ 왜?
4분의 1 회전 넷이면 모든 것이 처음 자리로 돌아오므로, 자리들이 작은 닫힌 무리로 갈린다.
무리마다 미지수 하나씩 붙이기
각 종류에 미지수 하나씩 붙는다.
지금 서 있는 자리의 값은, 1초 뒤에 서 있을 수 있는 여덟 자리의 평균과 정확히 같다.
10.S-CP.B.7Introduce A Variable원점에서의 식
가운데가 첫 식을 준다.
한가운데서는 아직 게임이 끝날 수 없으므로, 원점은 나머지 두 무리의 중간값일 뿐이다.
9.A-CED.A.3Identify Subproblems축 위의 점에서의 식
축 위의 자리가 둘째를 준다.
벽의 한복판을 마주 보고 서면, 여덟 걸음 중 셋은 꼭짓점 없이 그대로 끝나 버린다.
9.A-CED.A.3Identify Subproblems대각 점에서의 식
대각 자리가 셋째를 준다.
꼭짓점에 맞닿은 내부 점은 하나뿐이므로, 꼭짓점으로 갈 운은 모두 대각 자리를 거쳐 들어와야 한다.
9.A-CED.A.3Identify Subproblems세 식을 풀기
연립을 풀면 4/35다.
두 식이 b와 a를 c의 배수로 묶어 주면, 남은 세 번째 식에는 미지수가 하나만 남는다.
9.A-REI.C.6Convert To Algebram + n 읽어내기
그 성분의 합은 39, 보기 (A).
출발 자리가 원점이므로, 문제가 원하는 값은 원점에 붙인 미지수다.
6.NS.B.4Convert To Algebra시간 제한이 없는 이동에서는 각 자리에서의 답을 미지수로 이름 붙여라. 모든 자리는 이웃들의 평균이고, 대칭성이 아홉 개의 미지수를 세 개의 쉬운 식으로 줄여 준다.
- 판을 그리기
- 아홉 자리를 세 무리로 접기
- 무리마다 미지수 하나씩 붙이기
- 원점에서의 식
- 축 위의 점에서의 식
- 대각 점에서의 식
- 세 식을 풀기
- m + n 읽어내기