AMC 10 · 2017 · #14
학년 8 geometry-3d답을 골라 클릭하세요.
'아이스크림 제품'의 부피 공식은 없으므로, 공식을 아는 조각들로 나눈다. 위쪽 조각은 이미 평범한 원뿔이다. 아래쪽 조각인 원뿔대는 그렇지 않지만, 원뿔대는 큰 원뿔에서 작은 원뿔을 덜어낸 것이므로 어려운 도형 하나를 쉬운 도형 둘로 바꿀 수 있다. 잘려 나간 꼭짓점 부분을 찾기 위해 축을 따라 잘라 평면 그림으로 본다. 기울어진 옆면은 직선이고 반지름이 일정한 비율로 변하므로, 그 선을 아래로 따라가면 사라진 꼭짓점의 위치가 정확히 나온다. 그러면 문제는 원뿔 부피 세 개를 계산해 합치는 일이 된다.
한가운데를 잘라 보기
세로로 잘라 보면 반지름 변화가 보입니다.
축을 중심으로 돌려 만든 입체는 잘라서 펼친 평면 윤곽선만으로 완전히 정해지므로, 3차원 문제가 2차원 그림 문제가 된다.
7.G.A.3Draw A Diagram두 조각으로 나누기
전체를 두 조각으로 나눠 계산합니다.
부피는 더할 수 있다. 두 입체가 평평한 면 하나만 공유한다면 각각을 채우는 것이 전체를 정확히 한 번 채우는 것이다.
7.G.B.6Identify Subproblems위쪽 원뿔의 부피
위쪽 원뿔은 공식에 바로 넣으면 됩니다.
원뿔은 밑면과 높이가 같은 원기둥의 정확히 3분의 1 만큼 담는다.
뿔은 같은 밑면과 높이로 그것을 감싸는 기둥의 정확히 3분의 1을 담는다.
▸ 왜?
한 점으로 고르게 좁아지는 입체는 같은 밑면과 높이의 곧은 입체의 3분의 1을 채운다.
▸ 왜?
그 곧은 입체는 밑넓이가 끝까지 반복된 것이므로, 두 부피가 하나의 밑면과 하나의 높이를 공유한다.
원뿔대에서 사라진 꼭짓점 찾기
기울기를 이어 가면 사라진 꼭짓점의 위치가 나옵니다.
잘려 나간 꼭짓점 부분은 전체 원뿔을 축소한 닮은 도형이므로 반지름과 높이가 같은 비율로 줄어든다.
8.G.A.4Visualize Spatial Relationships원뿔대 = 큰 원뿔 빼기 작은 원뿔
원뿔대는 큰 원뿔에서 작은 원뿔을 뺀 것입니다.
사라진 꼭짓점을 도로 붙이면 까다로운 도형이 이미 아는 도형 둘로 바뀌고, 뺄셈이 덧붙인 부분을 다시 없앤다.
8.G.C.9Solve An Easier Related Problem두 부피 더하기
두 부피를 더하면 44파이 나누기 3입니다.
모든 조각을 같은 단위로 재고 나면 전체는 그냥 그 합이다.
7.G.B.6Identify Subproblems공식이 없는 입체를 만나면 잘려 나간 부분을 도로 붙여 보라. 원뿔대는 큰 원뿔에서 원래 꼭짓점이었던 작은 원뿔을 뺀 것일 뿐이다.
- 한가운데를 잘라 보기
- 두 조각으로 나누기
- 위쪽 원뿔의 부피
- 원뿔대에서 사라진 꼭짓점 찾기
- 원뿔대 = 큰 원뿔 빼기 작은 원뿔
- 두 부피 더하기
비슷한 유형 더 풀어보기
같은 archetype · 비슷한 학년부터.
