AMC 10 · 2017 · #16

학년 7 probability

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

prime-factorizationdivisor-countprobability-basic legendre-formulacomplementary-counting ↑ 선수 지식: prime-factorization

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

21 팩토리얼은 1부터 21까지를 모두 곱한 수입니다. 이 수의 양의 약수는 6만 개가 넘습니다. 그 약수 중 하나를 무작위로 고를 때 각 약수가 뽑힐 확률이 같다면, 고른 약수가 홀수일 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{21}$

(B)

$\frac{1}{19}$

(C)

$\frac{1}{18}$

(D)

$\frac{1}{2}$

(E)

$\frac{11}{21}$

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

도구 #16 (관점 바꾸기): 약수의 홀짝은 인수 2를 몇 개 갖느냐에만 달려 있으므로, 다른 소인수는 모두 무시하고 2의 거듭제곱만 본다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 정말 필요한 단 하나의 수는 21! 안에 2가 몇 개 들어 있는가이며, 이는 독립된 세기 문제다. 도구 #4 (변수 도입하기): 약수에 들어가는 2의 지수를 분명한 값 목록 위를 움직이는 변수로 두어, '홀수냐 아니냐'를 깔끔한 세기로 바꾼다.

1STEP 1

홀짝은 2의 개수만 결정

홀짝은 소인수 2의 개수만으로 정해집니다.

약수 = 2^a · m, m 은 홀수

2STEP 2

21! 속 2의 개수 세기

팩토리얼 안의 2를 세면 18개입니다.

10+5+2+1 = 18

3STEP 3

a가 가질 수 있는 값 나열

2의 지수는 0부터 18까지 19가지입니다.

a ∈ {0,1,2,…,18} → 19 가지

4STEP 4

세기를 확률로 바꾸기

그중 하나만 홀수를 주므로 19분의 1입니다.

P(홀수) = 1/19 → (B)

정답

1/19

완전한 소인수분해 21! = 2¹⁸ · 3⁹ · 5⁴ · 7³ · 11 · 13 · 17 · 19로 확인하자. 약수의 총 개수는 (18+1)(9+1)(4+1)(3+1)(1+1)⁴ = 19 · 10 · 5 · 4 · 16 = 60,800으로 '60,000 개가 넘는다'와 일치한다. 홀수 약수는 2를 빼므로 10 · 5 · 4 · 16 = 3,200 개다. 그러면 3,200/60,800 = 1/19로 답이 확인된다. 대부분의 약수가 적어도 하나의 2를 갖기에 확률이 0.05 근처인 것은 타당하다.

💡핵심 정리

약수는 2를 하나도 가져가지 않을 때만 홀수다. 21! 에는 2가 18 개 있어 2의 거듭제곱은 (0부터 18까지) 19 가지 선택이 있고 그중 하나만 홀수로 남긴다 — 확률 1/19, 보기 (B).

홀짝은 2의 개수만 결정
21! 속 2의 개수 세기
a가 가질 수 있는 값 나열
세기를 확률로 바꾸기

홀짝은 2의 개수만 결정

21! 속 2의 개수 세기

a가 가질 수 있는 값 나열

세기를 확률로 바꾸기

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