AMC 10 · 2017 · #17

학년 7 probability
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation
probability-basicindependent-eventsfraction-arithmetic identify-subproblemssystematic-enumeration ↑ 선수 지식: probability-basicindependent-events
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
어떤 동전이 앞면이 나올 확률은 3분의 2, 뒷면이 나올 확률은 3분의 1이고 각 던지기는 서로 독립입니다. 게임 A는 세 번 던져 셋이 모두 같으면 이깁니다. 게임 B는 네 번 던져 앞의 두 번이 서로 같고 뒤의 두 번도 서로 같으면 이깁니다. 두 게임의 이길 확률을 비교해서 어느 쪽이 더 유리한지, 그리고 정확히 얼마나 차이 나는지 말하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
The probability of winning Game A is } \frac{4}{81} \text{ less than the probability of winning Game B.
(B)
The probability of winning Game A is } \frac{2}{81} \text{ less than the probability of winning Game B.
(C)
The probabilities are the same.
(D)
The probability of winning Game A is } \frac{2}{81} \text{ greater than the probability of winning Game B.
(E)
The probability of winning Game A is } \frac{4}{81} \text{ greater than the probability of winning Game B.
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 문제는 두 수를 비교하라고 하므로, 먼저 각 게임의 확률을 따로 구하고 맨 마지막에만 비교한다. 게임 B 는 한 번 더 쪼개진다. 첫째–둘째 던지기와 셋째–넷째 던지기는 공유하는 던지기가 없어 서로 영향을 주지 않기 때문이다. 도구 #2 (빠짐없이 나열하기): 각 게임은 짧고 나열 가능한 수열들에서만 이기므로, 이기는 수열을 모두 적어 두면 빠뜨리거나 중복해 세는 일이 없다. 게다가 게임 B 는 다른 방식으로 한 번 더 나열해 검산할 수 있다. 도구 #15 (다르게 정리하기): 두 답을 같은 분모 81로 다시 쓰면 비교가 정수 두 개의 뺄셈이 되어, 방향을 잘못 읽을 여지가 사라진다. 도구 #3 (가능성 지우기): 다섯 보기는 같은 차이를 반대 방향으로 말하는 쌍을 이루므로, 보기를 고르기 전에 차이의 크기뿐 아니라 부호를 반드시 확정해야 한다.

1STEP 1

게임 A의 이기는 수열 나열

게임 A는 모두 앞면이거나 모두 뒷면인 두 경우뿐입니다.

P(A) = (2/3)³ + (1/3)³ = 8/27+1/27 = 9/27 = 1/3
2STEP 2

게임 B를 두 쌍으로 쪼개기

게임 B는 독립인 두 쌍으로 쪼개집니다.

P(한 쌍이 같음) = 4/9+1/9 = 5/9, P(B) = (5/9)² = 25/81
3STEP 3

게임 B를 다른 방식으로 다시 나열

네 경우를 직접 나열해도 같은 값이 나옵니다.

16/81+4/81+4/81+1/81 = 25/81
4STEP 4

둘 다 분모 81로 고치기

분모를 81로 맞추면 비교가 즉시 됩니다.

P(A) - P(B) = 27/81 - 25/81 = +2/81
5STEP 5

부호를 보기와 맞추기

게임 A가 81분의 2만큼 더 유리합니다.

P(A) = 27/81 ＞ 25/81 = P(B) → (D)
정답
게임 A에서 이길 확률이 게임 B보다 2/81 크다.
소수로 보면 P(A) = 1/3 ≈ 0.3333, P(B) = 25/81 ≈ 0.3086으로 둘 다 0과 1 사이에 타당하게 놓이고, 차이는 약 0.0247로 2/81과 같다. 계산 없이도 순서가 그럴듯하다. 게임 A 는 세 번의 던지기가 서로 모두 일치해야 하지만 게임 B 는 독립인 두 번의 두 개짜리 일치만 필요하므로, 어느 쪽도 확연히 쉽지 않고 차이는 크지 않고 작아야 한다. 부호는 더 강한 검사도 통과한다. p+q=1로 두고 t = pq 라 하자. 그러면 P(A) = p³+q³ = 1-3t, P(B) = (p²+q²)² = (1-2t)² 이므로 P(A)-P(B) = (1-3t)-(1-4t+4t²) = t(1-4t)이다. p+q=1 일 때 항상 pq ≤ 1/4 이므로 이 차이는 결코 음수가 되지 않는다. 즉 어떤 동전에 대해서도 게임 A 가 게임 B 보다 최소한 같거나 유리하며, 공정한 동전일 때만 같아진다. 그러므로 게임 A 가 더 작다고 주장하는 보기는 여기서 불가능하고, t = 2/9를 넣으면 2/9(1-8/9) = 2/81로 정확히 일치한다.
💡핵심 정리

게임 A 는 27/81, 게임 B 는 25/81의 확률로 이기므로 게임 A 가 2/81 만큼 더 유리하다 — 그리고 같은 차이를 반대 방향으로 말하는 보기가 둘 있으므로, 뺄셈의 부호가 (D)를 결정한다.

  • 게임 A의 이기는 수열 나열
  • 게임 B를 두 쌍으로 쪼개기
  • 게임 B를 다른 방식으로 다시 나열
  • 둘 다 분모 81로 고치기
  • 부호를 보기와 맞추기

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