AMC 10 · 2017 · #2
학년 7 algebra interval-arithmeticsign-analysislogical-deduction bound-inequality-then-enumerateguess-and-check ↑ 선수 지식: interval-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
세 실수가 0 보다 크고 1 보다 작은 x, -1 보다 크고 0 보다 작은 y, 1 보다 크고 2 보다 작은 z를 만족합니다. 다섯 보기 중에서 허용된 모든 x, y, z에 대해 항상 양수가 되는 식을 찾으세요. 운 좋은 몇몇 값만이 아니라 전부여야 합니다.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
$y+x^2$
(B)
y+xz
(C)
$y+y^2$
(D)
$y+2y^2$
(E)
y+z
풀이 과정
전략 가능성 지우기
도구 #3 (가능성 지우기): 선택지가 다섯 개이고 살아남는 것은 하나뿐이므로, 넷을 지우면 다섯 번째를 증명한 것과 같다. 도구 #14 (극단의 원리): 어떤 식이 모든 값에서 양수일 조건은 가장 나쁜 경우(가능한 최솟값)가 여전히 양수일 때와 정확히 같으므로, 각 범위를 낮은 쪽 끝으로 밀어 본다. 도구 #6 (추측하고 확인하기): 실패할 수 있는 선택지는 그것을 음수로 만드는 구체적인 수 한 벌만 찾으면 탈락시킬 수 있다.
1STEP 1
범위 읽기
세 범위가 모든 것을 결정합니다.
0 ＜ x ＜ 1, -1 ＜ y ＜ 0, 1 ＜ z ＜ 2
항상 양수란 가장 나쁜 경우조차 양수라는 뜻이다.
6.NS.C.7Eliminate Possibilities2STEP 2
y+z의 하한 더하기
두 하한을 더하면 y+z는 항상 양수입니다.
y ＞ -1이고 z ＞ 1 → y+z ＞ (-1)+1=0
가능한 가장 작은 두 값을 더하면 가능한 가장 작은 합이 나온다.
7.NS.A.1Extreme Principle3STEP 3
(A)와 (B) 지우기
y가 크게 음수인 값 하나가 앞의 두 보기를 무너뜨립니다.
x=0.1, y=-0.9, z=1.5: y+x²=-0.89, y+xz=-0.75
양수 부분을 0 근처로 줄이면 음수인 y가 이긴다.
6.EE.B.5Guess And Check4STEP 4
(C)와 (D)를 인수분해로 지우기
인수분해하면 다음 두 보기의 부호가 드러납니다.
y+y²=y(1+y) ＜ 0; y+2y²=y(1+2y) 는 y=-1/2 에서 부호 변화
y를 묶어 내고 각 인수의 부호를 읽는다.
변수를 앞으로 뽑아내면 각 인수의 부호를 따로 읽을 수 있다.
▸ 왜?
두 항이 공유하는 인수는 합에서 들어낼 수 있고, 안에는 더 단순한 식이 남는다.
분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.
▸ 왜?
곱의 부호는 인수의 부호로 정해지므로, 각 문자의 범위가 그것을 곧바로 정한다.
부등호의 추이성첫째가 둘째보다 크고 둘째가 셋째보다 크면 첫째는 셋째보다 크다.
5STEP 5
(E)만 살아남는다
살아남는 것은 y+z 하나뿐입니다.
y+z ＞ 0 항상 → (E)
지우기에서 유일하게 살아남은 것이 답이다.
6.NS.C.7Eliminate Possibilities정답
y+z
y+z의 극단을 점검하면, 가장 나쁜 구석 y→ -1, z→ 1에서도 합은 0에 위쪽에서 가까워질 뿐 결코 그 아래로 내려가지 않으므로 y+z는 양수를 유지한다 — (E)를 고른 것과 일치한다. 한편 지워 낸 선택지들은 각각 실패하는 구체적 예가 있었으므로 실수로 버린 것은 없다.
💡핵심 정리
어떤 식이 '항상 양수'이려면 가능한 최솟값마저 0보다 커야 한다. 낮은 쪽 끝 y ＞ -1과 z ＞ 1을 더하면 y+z ＞ 0이므로 답은 (E)다.
- 범위 읽기
- y+z의 하한 더하기
- (A)와 (B) 지우기
- (C)와 (D)를 인수분해로 지우기
- (E)만 살아남는다