AMC 10 · 2017 · #20

학년 11 probability
유형 Geometric Probability by Area └ 세부 유형 Uniform Draws to Favorable Region
floor-functionlogarithm-propertiesgeometric-probabilitygeometric-series-infinite identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: floor-functiongeometric-series-infinite
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
두 수 x와 y를 0과 1 사이의 열린 구간에서 서로 독립하게 무작위로 뽑습니다. 구간의 모든 점이 똑같이 나올 수 있습니다. 각 수에 대해 밑이 2인 로그를 취하고 정수 쪽으로 내림합니다. 내림한 두 값이 서로 같을 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{1}{8}$
(B)
$\frac{1}{6}$
(C)
$\frac{1}{4}$
(D)
$\frac{1}{3}$
(E)
$\frac{1}{2}$
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

밑이 2인 로그의 내림값은 사실 로그 계산 문제가 아니다. 그것은 이름표를 붙이는 문제다. 즉 그 수가 (0,1)의 어느 반씩 줄어드는 띠에 있는지를 알려주는데, 그 띠는 [1/2,1), [1/4,1/2), [1/8,1/4) 등이다. 따라서 '두 이름표가 같다'는 것은 '두 수가 같은 띠에 들어갔다'는 뜻이다. 이렇게 하면 하나의 확률 문제가 띠마다 하나씩의 작은 문제로 쪼개지고, 각 문제는 쉽다. 균등하게 뽑은 수는 한 조각에 그 길이만큼의 확률로 들어가고, 두 번의 뽑기는 서로 독립이기 때문이다. 띠는 무한히 많지만 그 확률이 일정한 비율로 줄어들기 때문에, 조각들은 등비급수로 다시 합쳐진다.

1STEP 1

내림값을 구간으로 바꾸기

내림값 하나가 구간 하나를 뜻합니다.

⌊ log₂ x ⌋ = -k ⇔ -k ≤ log₂ x ＜ -k+1 ⇔ 1/2^k ≤ x ＜ 1/(2^k-1)
2STEP 2

띠의 확률은 곧 그 길이

구간의 확률은 그 길이입니다.

P(⌊ log₂ x ⌋ = -k) = 1/(2^k-1) - 1/2^k = 1/2^k, Σ_k=1^∞ 1/2^k = 1
3STEP 3

두 수가 같은 띠에 들어가기

두 수가 같은 구간에 들어갈 확률은 길이의 제곱입니다.

P(⌊ log₂ x ⌋ = ⌊ log₂ y ⌋ = -k) = (1/2^k)² = 1/4^k
4STEP 4

겹치지 않는 띠의 경우들 더하기

구간들이 겹치지 않아 그냥 더할 수 있습니다.

P = Σ_k=1^∞ 1/4^k = 1/4 + 1/16 + 1/64 + …
5STEP 5

무한등비급수의 합 구하기

무한등비급수를 더하면 3분의 1입니다.

Σ_k=1^∞ 1/4^k = a/(1-r) = 1/4/(1-1/4) = 1/3
정답
1/3
급수를 믿지 않고도 네 선택지를 걸러낼 수 있다. 가장 큰 경우 하나, 즉 두 수가 모두 [1/2,1)에 있는 경우만으로도 이미 1/4을 기여하고 뒤의 띠들이 더 보태므로, 답은 1/4보다 반드시 크다. 이로써 1/8, 1/6, 1/4이 제거된다. 반대쪽으로는, 이름표가 같으려면 x와 y가 (0,1)의 같은 절반에 들어가야 하는데 그 확률은 1/4 + 1/4 = 1/2이다. 그런데 아래쪽 절반에 함께 들어간 것만으로는 아직 일치가 아니므로 답은 1/2보다 반드시 작다. 그러면 1/3만 남고, 이는 계산한 값과 일치한다. 무작위 쌍 200만 개의 모의실험도 약 0.3331로 1/3에 정확히 들어맞는다.
💡핵심 정리

밑이 2인 로그를 내림하는 것은 그 수가 어느 반씩 줄어드는 띠에 떨어졌는지 이름표를 붙이는 일일 뿐이어서, '같은 이름표'는 넓이가 1/4, 1/16, 1/64, …인 정사각형 계단이 되고 그 합은 1/3이다.

  • 내림값을 구간으로 바꾸기
  • 띠의 확률은 곧 그 길이
  • 두 수가 같은 띠에 들어가기
  • 겹치지 않는 띠의 경우들 더하기
  • 무한등비급수의 합 구하기

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