AMC 10 · 2017 · #21

학년 6 algebra
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint
divisibility-rulesmean-median-mode-rangemodular-arithmetic bound-inequality-then-enumerateeasier-related-problem ↑ 선수 지식: divisibility-rules
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
이사벨라는 수학 시험을 일곱 번 봤고 91점부터 100점까지 중 서로 다른 정수 점수를 받았습니다. 매 시험이 끝날 때마다 그때까지 받은 점수의 평균이 정수였습니다. 일곱 번째 점수는 95점이었습니다. 여섯 번째 점수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
92
(B)
94
(C)
96
(D)
98
(E)
100
풀이 과정
전략 가능성 지우기

도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기): 모든 점수에서 90을 빼면 지저분한 91-100 범위가 깔끔한 1-10 집합으로 바뀐다. 모든 점수를 90 씩 내리면 모든 평균도 90 씩 내려가므로, 평균이 정수인지 여부는 바뀌지 않는다. 도구 #14 (극단의 원리): 가능한 가장 작은 합과 가장 큰 합이 일곱 시험 합을 7의 배수 몇 개로 좁힌다. 도구 #3 (가능성 지우기): 여섯 시험과 다섯 시험의 배수 조건이 하나만 남기고 모든 후보를 지워, 여섯 번째 점수를 확정한다.

1STEP 1

1부터 10까지의 수로 옮기기

90을 빼면 1부터 10까지의 문제가 됩니다.

점수-90 ∈ {1,2,…,10}, a₇ = 5, k ∣ (a₁+…+a_k)
2STEP 2

일곱 시험 합의 범위 잡기

서로 다르다는 조건이 합의 범위를 좁힙니다.

28 ≤ S₇ ≤ 49, 7 ∣ S₇ → S₇ ∈ {28,35,42,49}
3STEP 3

여섯 시험 규칙으로 합 확정하기

여섯 번째까지의 조건이 합을 하나로 확정합니다.

6 ∣ (S₇-5): 23, 30, 37, 44 → S₇=35, S₆=30
4STEP 4

다섯 시험 규칙으로 여섯 번째 점수 찾기

다섯 시험 조건까지 쓰면 100점입니다.

5 ∣ (30-a₆) → 5 ∣ a₆ → a₆=10 → 10+90=100 (E)
정답
100
실제로 가능한 순서가 존재하므로 답은 모순이 없다. 옮긴 점수 1,3,2,6,8,10,5는 누적 합 1,4,6,12,20,30,35를 주고, 이는 각각 1,2,3,4,5,6,7로 정확히 나누어떨어진다. 90을 다시 더하면 실제 점수 91,93,92,96,98,100,95는 91-100 안의 서로 다른 일곱 값이며, 여섯 번째가 100, 일곱 번째가 95로 조건에 맞는다. 보기 중 100 만이 5의 배수인데, 이는 여섯 번째 점수가 5의 배수여야 한다는 규칙과도 일치한다.
💡핵심 정리

정수 평균은 매 누적 합이 깔끔한 배수라는 뜻이고, 마지막 두 단계가 여섯 번째 점수를 5의 배수로 강제한다 — 보기 중 100 만이 들어맞는다, 보기 (E).

  • 1부터 10까지의 수로 옮기기
  • 일곱 시험 합의 범위 잡기
  • 여섯 시험 규칙으로 합 확정하기
  • 다섯 시험 규칙으로 여섯 번째 점수 찾기

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