AMC 10 · 2017 · #23
학년 11 algebra답을 골라 클릭하세요.
도구 #15 (다르게 정리하기): f를 직접 추적하는 것은 가망이 없지만, 주어진 세 점은 무작위가 아니라 모두 포물선 y=x² 위에 있다. 그래서 차 f(x)-x²를 대신 추적하면 그 차는 이미 알려진 근 세 개를 가진다. 도구 #5 (패턴 찾기): 값 4, 9, 16은 2, 3, 4의 제곱이고, 나중에 세 현도 라벨만 바뀐 채 똑같이 작동한다. 도구 #4 (변수 도입하기): 주어진 자료만으로는 f가 완전히 결정되지 않으므로, 남은 자유도 하나를 a로 이름 붙이고 합이 24라는 조건으로 확정한다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 세 직선 각각을 별도의 작은 인수분해 문제로 처리한 뒤 결과를 더한다.
숨어 있는 포물선 알아채기
세 점의 y값이 모두 x의 제곱입니다.
흩어진 세 점도 같은 규칙 y=x²을 따른다는 것을 보면 한 문장으로 정리된다.
9.F-IF.A.2Look For A Patternf를 제곱 더하기 삼차식으로 쓰기
f를 제곱 더하기 삼차식으로 쓸 수 있습니다.
근 세 개를 아는 삼차식은 배율 하나만 빼면 완전히 결정되므로, 문제 전체가 a 찾기로 줄어든다.
11.A-APR.B.2Introduce A Variable다시 만난다를 방정식으로 바꾸기
직선과의 차를 만들면 근이 셋입니다.
두 그래프가 만나는 곳은 두 식이 같아지는 곳이므로, 교점 문제는 곧 근 문제이다.
11.A-REI.D.11Identify Subproblems이미 아는 근을 인수로 빼내기
아는 근 둘을 빼내면 나머지 근이 바로 보입니다.
이미 아는 인수를 빼내면 삼차방정식이 일차방정식 하나로 무너진다.
이미 아는 근을 뽑아내면 삼차 방정식이 일차 방정식 하나로 접힌다.
▸ 왜?
근에서 0이 되는 다항식은 그 근의 일차 인수를 지니므로, 아는 근이 정확히 나눠 없어진다.
▸ 왜?
계수는 이미 근의 합과 곱을 담고 있으므로, 남은 근을 곧바로 읽어 낼 수 있다.
AC와 BC로 라벨 돌리기
세 직선이 같은 모양의 결과를 줍니다.
각 현은 세 근 중 두 개를 써 버리므로, 남는 근은 항상 쓰이지 않은 수가 같은 양 -1/a만큼 밀린 것이다.
11.A-APR.B.3Look For A Pattern합을 이용해 a 확정하기
합이 24라는 조건이 남은 계수를 정합니다.
미지의 배율 a 하나를 정하라고 합이 24라는 조건 하나가 주어진 것이다.
9.A-REI.B.3Introduce A Variablef에 0을 대입하기
0을 넣으면 5분의 24입니다.
배율만 알면 상수항은 근들의 곱에 그 배율을 곱한 값일 뿐이다.
9.A-SSE.A.1Identify Subproblems주어진 세 점이 모두 y=x² 위에 있으므로 f 대신 f(x)-x²을 보면 인수분해된 삼차식 a(x-2)(x-3)(x-4)가 손에 들어오고, 단 하나의 수 a는 합이 24라는 조건으로 정해져 f(0)=24/5, 선택지 (D)를 얻는다.
- 숨어 있는 포물선 알아채기
- f를 제곱 더하기 삼차식으로 쓰기
- 다시 만난다를 방정식으로 바꾸기
- 이미 아는 근을 인수로 빼내기
- AC와 BC로 라벨 돌리기
- 합을 이용해 a 확정하기
- f에 0을 대입하기