AMC 10 · 2017 · #7

학년 11 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

periodic-functionfunction-compositiontrigonometric-ratios symmetry-argumentguess-and-check ↑ 선수 지식: periodic-functionfunction-composition

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

사인과 코사인은 각각 최소 주기가 2파이입니다. 합성함수 f(x) = cos(sin x)를 만들고 그 최소 주기를 구하세요. 즉 모든 실수 x에 대해 f(x + p) = f(x)가 되는 가장 작은 양수 p를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{\pi}{2}$

(B)

$\pi$

(C)

$2\pi$

(D)

$4\pi$

(E)

The function is not periodic.

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

바깥의 코사인은 우함수라서 입력과 그 부호를 바꾼 값을 구별하지 못한다. cos(sin(x))를 cos(|sin(x)|)로 다시 쓰면 이 사실이 앞으로 드러난다. 합성함수는 sin(x)의 부호가 아니라 크기만 본다는 뜻이다. 그런데 |sin(x)|는 sin(x)보다 두 배 빠르게 반복되므로, 이 재작성이 곧바로 주기 후보를 준다. 그다음 할 일은 두 가지로 갈린다. 그 후보가 모든 x에 대해 정말 주기인지 확인하는 것과, f가 최댓값을 찍는 위치를 추적해서 그보다 작은 값은 주기가 될 수 없음을 보이는 것이다.

1STEP 1

코사인은 부호를 무시한다

코사인은 부호를 무시합니다.

cos(-u)=cos(u) → cos(sin x)=cos(|sin x|)

2STEP 2

pi만큼 밀어도 그대로

파이만큼 밀면 안쪽 부호만 바뀌어 값이 그대로입니다.

sin(x+π)=-sin x → f(x+π)=cos(-sin x)=cos(sin x)=f(x)

3STEP 3

pi/2를 지우기

값 하나만 넣어 봐도 절반 주기는 탈락합니다.

f(0)=cos 0=1, f (π/2)=cos 1≈ 0.5403 ≠ 1

4STEP 4

더 짧은 이동은 불가능

최댓값이 나오는 자리들이 최소 주기 파이를 확정합니다.

{x: f(x)=1}={x:sin x=0}={kπ} → p=kπ, p_min=π

정답

한 바퀴에 걸쳐 값을 찍어 보자. f(0) = 1, f(pi/4) = cos(0.7071) = 0.7602, f(pi/2) = cos 1 = 0.5403, f(3pi/4) = 0.7602, f(pi) = 1, f(5pi/4) = 0.7602, f(3pi/2) = 0.5403, f(7pi/4) = 0.7602, f(2pi) = 1이다. [0, pi)에서 나온 값들이 [pi, 2pi)에서 그대로 반복되며, 이는 주기 pi와 일치한다. 한편 f(pi/2)는 f(0)과 다르므로 pi/2는 주기가 아니고, 값이 분명히 반복되므로 비주기함수도 아니다. 두 사실 모두 보기 (B)와 맞아떨어진다. 모든 값이 pi 뒤에 반복되고, 그보다 짧은 이동은 통하지 않는다.

💡핵심 정리

코사인은 입력과 그 부호를 바꾼 값을 구별하지 못하므로, cos(sin(x))는 결국 |sin(x)|만 보게 되고 이는 2*pi가 아니라 pi마다 반복된다.

코사인은 부호를 무시한다
pi만큼 밀어도 그대로
pi/2를 지우기
더 짧은 이동은 불가능

코사인은 부호를 무시한다

pi만큼 밀어도 그대로

pi/2를 지우기

더 짧은 이동은 불가능

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