AMC 10 · 2018 · #13
학년 7 number-theory답을 골라 클릭하세요.
도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 계수 조합의 총 개수를 셈: 자릿수마다 3가지, 8자리이므로 3⁸ 개. 도구 #14(극단의 원리)로 아래 자리들을 맨 위 자리에 견주어 묶어 각 조합이 서로 다른 정수에 떨어짐을 증명. 도구 #16(관점 바꾸기)이 핵심: 음이 아닌 값을 정면으로 세는 대신 부호 뒤집기 대칭을 이용 — 양수와 음수가 같은 개수로 나오고 0은 정확히 하나이므로 음이 아닌 개수는 (전체 + 1) / 2. 도구 #3(가능성 지우기)으로 일치하는 보기를 확인하고 유혹용 보기를 제거.
모든 계수 조합 세기
계수 조합은 3의 8제곱가지입니다.
독립적인 선택은 곱해지므로 8자리 각각 3가지면 3⁸ 조합.
7.SP.C.8Make A Systematic List각 조합은 서로 다른 정수
각 조합은 서로 다른 값을 줍니다.
가장 높은 0이 아닌 자리가 그 아래 전부를 압도하므로 두 조합이 겹치지 않음.
0이 아닌 가장 높은 자릿수가 그 아래 전부를 압도하므로, 두 계수 목록이 같은 값을 주지 않는다.
▸ 왜?
각 자리는 아래 자리의 밑 배만큼의 값이므로, 그 아래를 모두 더한 것보다 크다.
▸ 왜?
어떤 목록이 그 자리에서 앞서면, 그 아래 무엇으로도 비교를 뒤집을 수 없다.
부호 뒤집기 대칭 이용
부호를 뒤집으면 양수와 음수가 짝을 이룹니다.
모든 자리를 음수화하면 모든 값이 0을 기준으로 거울처럼 대칭 — 양쪽 개수가 같음.
6.NS.C.5Change Focus Count The Complement음이 아닌 개수 구하기
가운데 남는 0 하나를 더해야 합니다.
전체를 양·음 같은 절반과 0 하나로 나눈 뒤 0을 양수 쪽에 되더함.
6.EE.B.6Change Focus Count The Complement보기와 맞추기
결과는 3281입니다.
3281만 대칭 계산과 일치 — 나머지 보기는 그럴듯해도 크기가 틀림.
6.NS.C.7Eliminate Possibilities자릿값을 고르는 방법은 3⁸ = 6561 가지이고 각각 -3280부터 3280까지 서로 다른 수를 주는데, 양수와 음수가 가운데 0 하나를 두고 똑같이 짝지어지므로 음이 아닌 수는 (6561 + 1)/2 = 3281 개이다.
- 모든 계수 조합 세기
- 각 조합은 서로 다른 정수
- 부호 뒤집기 대칭 이용
- 음이 아닌 개수 구하기
- 보기와 맞추기