AMC 10 · 2018 · #21
학년 11 algebra답을 골라 클릭하세요.
19차 방정식을 푸는 것은 불가능하므로, 경로 자체가 근을 피해 가야 합니다. 문제 전체를 무너뜨리는 전환은 도구 #16(관점 바꾸기)이 제공합니다. 각 곡선이 어디서 0을 가로지르는지 묻지 말고, 어느 곡선이 더 아래에 있는지를 묻는 것입니다. 같은 구간에서 올라가는 두 함수라면, 위쪽 함수가 이미 0에 도달한 지점에서 아래쪽 함수는 아직 0에 못 미쳤으므로 더 오른쪽에서야 따라잡습니다. 즉 가장 낮은 그래프가 가장 큰 근을 가집니다. 이 전환을 쓰려면 먼저 근들을 공통 구간에 가두어야 하는데, 그것이 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)입니다. 풀지 말고 가장 쉬운 두 입력 x=-1과 x=0을 대입해, 부호 변화가 네 개의 큰 근을 (-1,0)에 가두게 합니다. 그다음 도구 #5(패턴 찾기)가 그래프의 높이를 정렬해 줄 유일한 사실, 곧 (-1,0)에서는 홀수 지수가 클수록 값이 크다는 사실을 건네줍니다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)이 토너먼트처럼 마무리합니다. 세 선택지는 높이 비교로, 일차식 선택지는 부호 검사 한 번으로 탈락합니다.
네 개의 큰 근을 (-1,0)에 가두기
네 근이 모두 같은 좁은 구간에 갇힙니다.
오르기만 하는 그래프는 x축을 한 번만 지날 수 있고, 두 시험점 사이의 부호 뒤집힘이 그 위치를 알려 줍니다.
9.F-IF.B.4Solve An Easier Related Problem더 낮은 그래프가 더 늦게 가로지른다
더 아래쪽 그래프가 더 늦게 가로지릅니다.
높이에서 뒤처졌다는 것은 0까지 따라잡는 데 오른쪽 공간이 더 필요하다는 뜻입니다.
11.A-REI.D.11Change Focus Count The Complement홀수 지수가 클수록 값이 크다
음수에서는 지수가 클수록 값이 큽니다.
-1과 0 사이의 수를 두 번 더 곱하면 크기가 줄어들어, 음수 값이 0 쪽으로 끌려 올라갑니다.
마이너스 1과 0 사이의 수를 두 번 더 곱하면 크기가 줄어들어, 음수인 값이 0 쪽으로 끌려 올라간다.
▸ 왜?
지수는 인수를 몇 번 쓰는지를 세므로, 작은 인수를 두 번 더 쓰면 값이 두 번 줄어든다.
▸ 왜?
음수 인수가 홀수 개면 부호가 음수로 남으므로, 크기가 줄어드는 것은 0 쪽으로 오르는 것이다.
(A), (C), (D) 탈락시키기
차를 만들면 세 보기가 한꺼번에 탈락합니다.
두 차 모두 여기서 음수인 인수 x²-1을 품고 있고, 그것이 음수인 홀수 거듭제곱과 만나므로 간격은 매번 양수로 나옵니다.
9.A-SSE.A.2Eliminate Possibilities일차식 선택지 (E) 시험하기
일차식까지 확인하면 17제곱 쪽이 이깁니다.
남의 근에서 0보다 한참 아래에 있다는 것은, 자기 근이 아직 오른쪽에 남아 있다는 뜻입니다.
9.A-REI.B.3Eliminate Possibilities근을 찾아야만 근을 비교할 수 있는 것은 아닙니다. 두 그래프가 모두 올라간다면, 더 아래를 지나는 쪽이 0에 닿기까지 더 오른쪽으로 가야 합니다.
- 네 개의 큰 근을 (-1,0)에 가두기
- 더 낮은 그래프가 더 늦게 가로지른다
- 홀수 지수가 클수록 값이 크다
- (A), (C), (D) 탈락시키기
- 일차식 선택지 (E) 시험하기