AMC 10 · 2018 · #24

학년 9 probability

유형 Geometric Probability by Area └ 세부 유형 Uniform Draws to Favorable Region

geometric-probabilityoptimizationquadratic-equationscaseworkinterval-arithmetic convert-to-algebracaseworkextreme-principle ↑ 선수 지식: geometric-probabilityquadratic-equations

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

앨리스는 0과 1 사이에서 고르게 무작위로 수를 하나 뽑습니다. 밥은 2분의 1과 3분의 2 사이에서 고르게 무작위로 수를 하나 뽑습니다. 캐럴은 두 사람의 규칙을 알고 나서 고정된 수 하나를 고릅니다. 세 수 중 가운데에 오는 수를 낸 사람이 이깁니다. 캐럴이 이길 확률을 가장 크게 만드는 수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{2}$

(B)

$\frac{13}{24}$

(C)

$\frac{7}{12}$

(D)

$\frac{5}{8}$

(E)

$\frac{2}{3}$

풀이 과정

전략 변수 도입하기

도구 #4(변수 도입하기)가 막연한 질문을 풀 수 있는 질문으로 바꾼다. 캐럴의 수를 c라 부르는 순간 "캐럴은 무엇을 골라야 하나?"는 "어떤 c가 함수 P(c)를 최대로 만드나?"가 된다. 도구 #1(그림 그리기)은 "균등하게 무작위"라는 말을 수직선 위의 길이로 바꾼다. 균등 확률은 실제로 그렇게 계산한다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 두 번 쓰인다. 캐럴이 이기는 방법은 서로 겹치지 않는 두 가지이고, c 자체도 서로 다른 식이 필요한 세 구간으로 나뉜다. 도구 #14(극단의 원리)는 가운데 구간에서 나오는 이차식의 꼭짓점을 찾는다. 도구 #3(가능성 지우기)은 나머지 두 구간이 그 최댓값을 넘을 수 없음을 보여 논증을 마무리한다.

1STEP 1

캐럴의 수와 승리 사건에 이름 붙이기

이기는 사건을 두 경우로 나눕니다.

P(c) = Pr(a ＜ c ＜ b) + Pr(b ＜ c ＜ a)

2STEP 2

균등 확률을 길이로 바꾸기

균등분포에서 확률은 길이입니다.

Pr(a ＜ c)=c, Pr(b ＜ c)=6c-3 (1/2 ≤ c ≤ 2/3)

3STEP 3

c가 밥의 구간 밖일 때

밥의 구간 밖은 언제나 손해입니다.

c ＜ 1/2이면 P(c)=c ＜ 1/2; c ＞ 2/3이면 P(c)=1-c ＜ 1/3

4STEP 4

밥의 구간 안에서 P(c) 세우기

구간 안에서는 아래로 볼록한 이차식이 됩니다.

P(c)=c(4-6c)+(1-c)(6c-3)=-12c²+13c-3

5STEP 5

포물선의 꼭짓점 찾기

꼭짓점이 최댓값을 줍니다.

-12c²+13c-3=-12(c-13/24)²+25/48

6STEP 6

세 구간 비교하기

세 구간을 비교하면 24분의 13입니다.

max P = 25/48 ＞ 1/2 ＞ 1/3, c=13/24에서 달성

정답

13/24

세 가지 확인이 모두 들어맞는다. 첫째, 위치. 13/24은 앨리스 구간의 중심인 1/2과 밥 구간의 중심인 7/12=14/24 사이에 있다. 가운데에 끼이고 싶은 사람이 서 있어야 할 자리가 바로 거기다. 다섯 보기 중 그 두 값 사이에 들어가는 것은 13/24뿐이다. 둘째, 대칭. c=1/2과 c=7/12을 넣으면 둘 다 P=1/2이 나온다. 포물선은 높이가 같은 두 점의 정확히 가운데에서 꼭짓점을 가지며, 12/24과 14/24의 중점은 13/24이다. 셋째, 크기. 25/48≈ 0.52는 1/2이나 7/12 같은 무난한 선택이 이미 얻는 1/2보다 조금 크고, 정보가 전혀 없는 사람이 얻는 1/3보다는 훨씬 크다. 위치를 조금 더 다듬어 얻는 이득이 분명하지만 작다는 점이 자연스럽다.

💡핵심 정리

무엇을 고를지 묻는 문제라면, 내 선택에 문자 이름을 붙이고, 이길 확률을 그 문자의 식으로 쓴 다음, 그 식이 가장 높아지는 곳을 찾으면 된다.

캐럴의 수와 승리 사건에 이름 붙이기
균등 확률을 길이로 바꾸기
c가 밥의 구간 밖일 때
밥의 구간 안에서 P(c) 세우기
포물선의 꼭짓점 찾기
세 구간 비교하기