AMC 10 · 2018 · #25
학년 8 number-theory답을 골라 클릭하세요.
도구 #13 (대수로 바꾸기): 같은 숫자 d가 k번 반복된 수는 d·(10^k-1)/9와 같으므로, 숫자 나열에 대한 문장 문제가 깔끔한 등식 하나로 바뀐다. 도구 #4 (변수 도입하기): x=10ⁿ으로 놓으면 등식이 x에 대한 다항식이 되고, 'n 값 두 개'는 'x 값 두 개'가 된다. 핵심 지렛대는, x에 대한 일차(선형) 식이 서로 다른 두 x에서 성립하려면 그 식이 항등식이어야 하고, 그러면 계수가 모두 0이 되어야 한다는 점이다. 도구 #14 (극단의 원리): 숫자 사이 관계가 정해지면 합을 키우기 위해 숫자 규칙이 허락하는 만큼 a, b, c를 크게 민다. 도구 #3 (가능성 지우기): a의 몇 안 되는 합법 값을 시험해 b가 9를 넘는 경우를 버린다.
각 반복수를 반복단위로 쓰기
반복수를 반복단위로 씁니다.
모든 반복수는 그 숫자 곱하기 1의 나열이고, 1의 나열은 (10의 거듭제곱 빼기 1)을 9로 나눈 것이다.
8.EE.A.1Convert To Algebrax=10ⁿ으로 놓기
10의 n제곱을 문자 하나로 둡니다.
10ⁿ을 x로 이름 붙이면 자릿수 개수에 대한 문장이 보통의 대수가 된다.
8.EE.A.1Introduce A Variable공통 인수 x-1 약분하기
공통 인수를 약분합니다.
x=10ⁿ은 절대 1이 아니므로 공통 인수 x-1이 깔끔하게 약분된다.
7.EE.A.1Convert To Algebrax에 대한 일차식으로 모으기
남은 것은 일차식입니다.
(기울기) · x+(상수)=0 꼴로 줄 세우면 모든 것을 좌우하는 두 수가 드러난다.
8.EE.C.7Convert To Algebra두 개의 n이 계수를 모두 0으로 만든다
두 개의 n이 계수를 모두 0으로 만듭니다.
직선은 0을 단 한 번만 지나므로, 0을 두 번 지나려면 그 직선이 0에서 평평해야 한다.
직선은 0을 한 번만 지나므로, 0에 두 번 닿았다면 그 직선이 0에 붙어 평평하다는 뜻이다.
▸ 왜?
어떤 항등식이 차수가 허락하는 것보다 많은 입력에서 성립하면, 모든 계수가 0이어야 한다.
▸ 왜?
기울기가 0이 아닌 직선은 어떤 높이든 한 번만 지나므로, 두 번 지나는 일은 있을 수 없다.
연립식을 풀어 숫자 관계 얻기
연립식이 숫자 사이의 관계를 줍니다.
두 계수 식이 a와 b를 곧바로 c에 묶어 준다.
8.EE.C.8Introduce A Variable숫자 제한으로 합법 조합 찾기
한 자리라는 제한이 조합을 두 개로 줄입니다.
a²이 숫자의 9배여야 하므로 a는 3의 배수여야 하고, 확인할 경우는 셋뿐이다.
7.EE.B.4Eliminate Possibilities합을 최대로 만들기
큰 쪽을 고르면 합은 18입니다.
살아남은 경우들 중 가장 큰 숫자가 가장 큰 합을 준다.
8.EE.C.7Extreme Principle반복된 숫자 묶음마다 (숫자)×(10^k-1)/9로 바꾸면 등식이 10ⁿ에 대한 일차식이 되고, 직선은 0을 한 번만 지나므로 두 개의 n에서 성립하려면 a²=9c, b=2c가 강제되며, 가장 큰 합법 숫자 6,8,4의 합은 18, 보기 (D)다.
- 각 반복수를 반복단위로 쓰기
- x=10ⁿ으로 놓기
- 공통 인수 x-1 약분하기
- x에 대한 일차식으로 모으기
- 두 개의 n이 계수를 모두 0으로 만든다
- 연립식을 풀어 숫자 관계 얻기
- 숫자 제한으로 합법 조합 찾기
- 합을 최대로 만들기