AMC 10 · 2018 · #5

학년 9 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

polynomial-rootspolynomial-factoringquadratic-equationscasework systematic-enumerationcaseworkconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: polynomial-factoringquadratic-equations

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

두 이차식이 주어집니다. 하나는 완전히 알려진 x제곱 빼기 3x 더하기 2이고, 다른 하나는 상수 k를 모르는 x제곱 빼기 5x 더하기 k입니다. 어떤 k 값에서는 두 이차식이 공통근을 갖습니다. 즉 둘 다 0으로 만드는 수가 하나 있습니다. 그런 k를 모두 구해 더하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

"가능한 모든 값"이라는 표현은 일부만 찾으면 점수가 0이라는 경고다. 그래서 후보를 빠짐없이 나열해야 한다. 도구 #4(변수 도입하기)는 공유되는 수에 r이라는 이름을 붙여, 막연한 겹침을 두 개의 방정식으로 바꾼다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 핵심 엔진이다: 완전히 알려진 이차식 x² - 3x + 2의 근은 정확히 두 개뿐이므로 r은 그 두 수 중 하나일 수밖에 없고, 그 짧은 목록은 빠짐없음이 보장된다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 후보마다 쉬운 일차방정식 하나씩으로 일을 나눈다. 도구 #3(가능성 지우기)은 값을 더하기 전에 각 후보가 실제로 유효한 k를 만드는지 확인한다.

1STEP 1

공통근에 이름 붙이기

공통근에 이름을 붙입니다.

r² - 3r + 2 = 0 그리고 r² - 5r + k = 0

2STEP 2

알려진 이차식 인수분해하기

알려진 이차식을 인수분해합니다.

x² - 3x + 2 = (x-1)(x-2)

3STEP 3

r의 후보를 모두 적기

후보는 둘뿐입니다.

(r-1)(r-2) = 0 ⟹ r ∈ {1, 2}

4STEP 4

경우 r = 1

첫 후보를 넣으면 한 값이 나옵니다.

1² - 5(1) + k = 0 ⟹ 1 - 5 + k = 0 ⟹ k = 4

5STEP 5

경우 r = 2

둘째 후보가 다른 값을 줍니다.

2² - 5(2) + k = 0 ⟹ 4 - 10 + k = 0 ⟹ k = 6

6STEP 6

둘 다 확인한 뒤 더하기

둘을 더하면 10입니다.

x² - 5x + 4 = (x-1)(x-4), x² - 5x + 6 = (x-2)(x-3), 4 + 6 = 10 → (E)

정답

실제로 작동한 두 값 4와 6은 보기 (B)와 (D)로 그대로 놓여 있는데, 이것이 함정이다. 그것들은 k 하나하나의 값이고 문제가 묻는 것은 그 합인 10이다. 보기 (C) 5는 두 근 중 하나만 작동해서 k = 5가 나올 때만 답이 되겠지만, k = 5이면 x² - 5x + 5의 근은 (5 ± √(5))/2로 무리수여서 1이나 2가 될 수 없다. 보기 (A) 3은 어디에도 맞지 않는다. 빠짐없음도 마지막으로 점검하면, 공통근은 반드시 1 또는 2이고 두 경우를 모두 썼으며 어느 것도 중복해서 세지 않았으므로 10이 합의 전부이다.

💡핵심 정리

공통근은 이미 알고 있는 근들 중 하나일 수밖에 없으니, 완전히 아는 다항식을 인수분해하고 그 두 근을 하나씩 넣어 본 뒤 살아남은 k를 모두 더하면 된다.

공통근에 이름 붙이기
알려진 이차식 인수분해하기
r의 후보를 모두 적기
경우 r = 1
경우 r = 2
둘 다 확인한 뒤 더하기