AMC 10 · 2018 · #7
학년 8 number-theory prime-factorizationexponentsdivisibility-rules convert-to-algebrabound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: prime-factorizationexponents
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
4000에 5분의 2의 n제곱을 곱한 식이 있습니다. 지수 n은 양수, 0, 음수 어느 것이든 될 수 있는 정수입니다. 이 식 전체가 정수가 되게 하는 정수 n이 몇 개인지 세세요.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
3
(B)
4
(C)
6
(D)
8
(E)
9
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기
도구 #13 (대수로 바꾸기): 모든 것을 소수의 거듭제곱으로 다시 써서 '정수가 된다'는 막연한 말을 지수에 대한 정확한 조건으로 바꾼다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 등장하는 소수는 2와 5뿐이므로, 하나의 조건이 2의 거듭제곱 규칙과 5의 거듭제곱 규칙 두 개로 갈라진다. 도구 #2 (빠짐없이 나열하기): 두 규칙이 n의 범위를 정하면, 그 범위 안의 정수를 나열하고 센다.
1STEP 1
4000을 소인수분해하기
4000을 소인수로 쪼갭니다.
4000 = 2⁵ · 5³
수를 소수로 쪼개면 어떤 인수가 손에 있는지 정확히 보인다.
4.OA.B.4Identify Subproblems2STEP 2
하나의 소수 곱으로 다시 쓰기
전체를 소수의 곱 하나로 씁니다.
4000·(2/5)ⁿ = 2⁵ · 5³ · 2ⁿ · 5⁻ⁿ = 2⁵⁺ⁿ · 5³⁻ⁿ
같은 밑의 거듭제곱은 지수를 더해 합쳐지므로 각 소수를 따로 추적할 수 있다.
8.EE.A.1Convert To Algebra3STEP 3
'정수'를 지수 규칙으로 바꾸기
정수라는 조건은 두 지수가 음수가 아님입니다.
2⁵⁺ⁿ · 5³⁻ⁿinZ⇔ 5+n ≥ 0 이고 3-n ≥ 0
음의 지수를 가진 소수는 남아 있는 분모이므로, 정수에는 있을 수 없다.
지수가 음수인 소수는 남은 분모이므로, 정수는 그런 것을 지닐 수 없다.
▸ 왜?
모든 수의 소인수 조리법은 하나뿐이므로, 각 소수의 지수를 따로 좇을 수 있다.
소인수분해의 유일성1보다 큰 모든 정수는 (순서를 제외하면) 오직 한 가지 방법으로 소수의 곱으로 나타난다.
▸ 왜?
몫이 정수가 되는 것은 나눗셈에 나머지가 없을 때뿐이며, 그것이 지수가 음이 아니라는 뜻이다.
나머지가 있는 나눗셈N을 크기 d의 묶음으로 나누면 N = q·d + r (0 ≤ r < d); r=0일 때만 N은 d의 배수다.
4STEP 4
두 부등식 풀기
두 부등식이 범위를 만듭니다.
n ≥ -5 이고 n ≤ 3 ⟹ -5 ≤ n ≤ 3
한쪽씩 막는 두 경계가 n을 그 겹치는 구간으로 좁힌다.
6.EE.B.5Convert To Algebra5STEP 5
범위 안의 정수 세기
그 안의 정수를 세면 9개입니다.
-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3 → 3-(-5)+1 = 9 → (E)
수직선 위 정수의 개수는 양 끝 차이에 1을 더한 값이다(양끝 모두 포함).
6.NS.C.6Make A Systematic List정답
9
양 끝을 확인한다. n=3일 때: 2⁸ · 5⁰=256, 정수이다. n=-5일 때: 2⁰ · 5⁸=390625, 정수이다. 각 끝 바로 너머는 실패한다: n=4는 5⁻¹(분모에 5), n=-6은 2⁻¹(분모에 2)을 준다. 그래서 -5와 3이 정말로 마지막으로 성립하는 값이고, 그 사이의 모든 정수도 성립한다. 개수 9는 보기 (E)와 일치하며, 가장 큰 보기인 점도 음수 쪽을 빠뜨리지 않도록 일부러 보상하는 '양쪽 부호 허용' 문제에 잘 맞는다.
💡핵심 정리
4000·(2/5)ⁿ을 2⁵⁺ⁿ · 5³⁻ⁿ으로 쓰면, 두 지수가 모두 ≥ 0일 때만 정수로 남으므로 -5 ≤ n ≤ 3, 즉 9개 — 보기 (E).
- 4000을 소인수분해하기
- 하나의 소수 곱으로 다시 쓰기
- '정수'를 지수 규칙으로 바꾸기
- 두 부등식 풀기
- 범위 안의 정수 세기