AMC 10 · 2018 · #9

학년 11 algebra

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📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

0부터 파이까지의 구간 안에서 다음 성질을 갖는 가장 큰 y의 집합을 구하세요. 그 구간에서 x를 어떻게 고르더라도 사인 x 더하기 y가 사인 x 더하기 사인 y 이하가 되어야 합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

y=0

(B)

$0\leq y\leq \frac{\pi}{4}$

(C)

$0\leq y\leq \frac{\pi}{2}$

(D)

$0\leq y\leq \frac{3\pi}{4}$

(E)

$0\leq y\leq \pi$

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

적혀 있는 그대로의 부등식은 x 와 y 가 사인 하나 안에 뒤섞여 있어 아무것도 읽어낼 수 없다. 도구 #15(다르게 정리하기): 삼각함수 덧셈정리로 sin(x+y)를 펼친 뒤 모든 항을 한쪽으로 옮기고 다시 묶어서, 곱의 합 꼴로 만들어 인수 하나씩 부호를 읽을 수 있게 한다. 이 재배열이 문제의 전부다. 도구 #16(관점 바꾸기): 성립하는 y 를 찾아다니는 대신 "부등식이 깨지려면 무엇이 필요한가"를 묻는다. 이 질문의 답이 훨씬 짧다. 도구 #14(극단의 원리): 모든 것을 결정하는 부호 사실은 [0, π] 위에서 사인과 코사인의 극단, 즉 sin ≥ 0과 cos ≤ 1 에서 나온다. 도구 #3(가능성 지우기): 선택지가 포함 관계인 구간들이므로 찾을 경계는 하나뿐이고, 그 경계를 찾으면 선택지가 정해진다.

1STEP 1

선택지를 하나의 경계로 읽기

보기들이 포함 관계라 하나만 확인하면 됩니다.

{0} ⊂ [0, π/4] ⊂ [0, π/2] ⊂ [0, 3π/4] ⊂ [0, π]

2STEP 2

성립이 아니라 실패를 묻기

성립 대신 실패 가능성을 묻습니다.

x, y ∈ [0, π] → sin(x) + sin(y) ≥ 0; x + y ＞ π → sin(x+y) ≤ 0

3STEP 3

합각을 덧셈정리로 펼치기

합각을 덧셈정리로 펼칩니다.

sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y

4STEP 4

한쪽으로 몰고 다시 묶기

한쪽으로 몰고 두 곱으로 묶습니다.

sin x cos y + cos x sin y - sin x - sin y = sin x (cos y - 1) + sin y (cos x - 1)

5STEP 5

각 인수의 부호 확정하기

각 인수의 부호가 구간에서 고정됩니다.

sin x ≥ 0, sin y ≥ 0 ([0, π] 위에서); cos x - 1 ≤ 0, cos y - 1 ≤ 0 (항상)

6STEP 6

두 곱 모두 0 이하

두 곱이 모두 0 이하입니다.

sin x_ ≥ 0(cos y - 1)_ ≤ 0 + sin y_ ≥ 0(cos x - 1)_ ≤ 0 ≤ 0

7STEP 7

경계와 등호 경우 확인

경계와 등호 경우도 통과합니다.

y = π: -sin x ≤ sin x; x = y = 3π/4: -1 ≤ √(2) ≈ 1.414

8STEP 8

가장 큰 부분집합 말하기

따라서 답은 구간 전체입니다.

{ y ∈ [0, π] : 모든 x ∈ [0, π]에 대해 sin(x+y) ≤ sin x + sin y } = [0, π] → (E)

정답

0 ≤ y ≤ π

결론은 조건이 결코 깨지지 않는다는 것인데, 다섯 선택지 중 넷이 깨진다고 전제하고 있으니 한 번 더 확인할 가치가 있다. 서로 독립적인 두 검사가 일치한다. 첫째, 대수: sin(x+y) - sin x - sin y = sin x(cos y - 1) + sin y(cos x - 1)은 항등식이고, [0, π] 에서 각 곱은 (0 이상)×(0 이하)이므로 차는 y 에 대한 어떤 조건도 없이 0 이하다. 둘째, 극단: y = π 에서 왼쪽은 -sin x ≤ 0, 오른쪽은 sin x ≥ 0으로 여유가 가장 크고, x 와 y 가 작을 때 차는 대략 -(xy(x+y))/2로 음수이지만 아주 작다. 즉 가장 아슬아슬한 곳은 등호에 가까워지는 모서리 x = y = 0 근처다. 양쪽 끝 모두 정상이고, 등호가 되는 경우는 정확히 x = 0, y = 0, 또는 x = y = π 다. 흔히 보이는 한 줄 설명 "등호는 cos x = cos y = 1 일 때만"은 정확하지 않다는 점도 짚어 둘 만하다. x = 0이면 y 가 무엇이든 등호이고, x = y = π 도 등호다. 등호 역시 ≤ 를 만족하므로 답은 달라지지 않는다.

💡핵심 정리

sin(x+y)를 펼치고 모든 항을 한쪽으로 옮기면 차는 sin x(cos y - 1) + sin y(cos x - 1)입니다. [0, π] 에서 사인은 음수가 되지 않고 코사인은 1을 넘지 못하므로 두 곱 모두 0 이하가 되어 부등식은 결코 깨지지 않아요. 답은 구간 전체 [0, π], 선택지 (E)입니다.

선택지를 하나의 경계로 읽기
성립이 아니라 실패를 묻기
합각을 덧셈정리로 펼치기
한쪽으로 몰고 다시 묶기
각 인수의 부호 확정하기
두 곱 모두 0 이하
경계와 등호 경우 확인
가장 큰 부분집합 말하기