AMC 10 · 2018 · #11

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

pythagorean-theoremarea-rectanglespaper-foldingspatial-visualization reflection-unfoldingidentify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

뚜껑이 닫힌 상자의 밑면은 한 변이 w인 정사각형이고 높이는 h입니다. 상자를 정사각형 포장지 한가운데에 놓되, 밑면의 네 꼭짓점이 포장지의 두 중선 위에 오도록 돌려서 놓습니다. 포장지의 네 모서리를 옆면 위로 접어 올리면 상자 윗면 한가운데 점에서 모두 만납니다. 정사각형 포장지의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$2(w+h)^2$

(B)

$\frac{(w+h)^2}2$

(C)

$2w^2+4wh$

(D)

$2w^2$

(E)

$w^2h$

풀이 과정

전략 공간 상상하기

도구 #17 (공간 상상하기): 어려운 부분은 접기이다. 평평한 삼각형 포장지 조각이 상자 옆면 위로 접혀 올라간 뒤 윗면 위에 놓여 A에 닿는다. 이 경로를 머릿속에서 펼치면, 전체 여정이 평평한 시트 위에서 잰 하나의 직선 수직거리가 되어 계산할 수 있다. 도구 #1 (그림 그리기): 시트를 xy-좌표에 놓고 밑면 꼭짓점을 축 위에 두면 기울기가 깔끔한 수가 된다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 미지의 거리를 쉬운 두 조각으로 나눈다 — 옆면을 타고 오르는 거리(h)와 윗면에서 모서리부터 중심까지 가로지르는 거리(w/2) — 그리고 더한다.

1STEP 1

시트를 좌표에 놓기

상자가 45도 돌아가 있어 대각선이 기준입니다.

d√(2)=w → d=w/√(2)

2STEP 2

접기를 하나의 거리로 펼치기

접기를 펼쳐 하나의 거리로 봅니다.

(모서리에서 밑면 변까지의 수직거리) = h+w/2

3STEP 3

그 거리를 평평한 시트에서 재기

그 거리를 평평한 시트 위에서 잽니다.

(S-d)/√(2) = h+w/2

4STEP 4

시트의 한 변 구하기

시트의 한 변이 정해집니다.

S = w√(2)+√(2) h = √(2) (w+h)

5STEP 5

변을 제곱해 넓이 구하기

제곱하면 2 곱하기 w 더하기 h의 제곱입니다.

S² = (√(2))² (w+h)² = 2(w+h)² → (A)

정답

2(w+h)²

w=2,h=1로 시험해 보자. 그러면 S=√2(3)=3√2이고 넓이는 2·3²=18이다. 포장지가 덮는 것을 따져 다른 방법으로 확인하자: 상자의 밑면(w²=4), 네 옆면(4wh=8), 윗면(w²=4)을 합하면 16이고, 옆면을 오르며 겹치는 네 개의 작은 모서리 삼각형이 남은 2를 더해 18이 된다 — 일치한다. 단위 감각으로도 통과한다: (E)를 제외한 모든 보기가 넓이 단위이고, (A)는 w나 h가 커질 때 올바르게 커진다. 반면 (D) 2w²는 높이를 완전히 무시하고, (C) 2w²+4wh는 모서리 삼각형을 뺀 상자의 겉넓이 그 자체라서 둘 다 모자란다.

💡핵심 정리

접기를 펼치자: 포장지 모서리가 옆면을 오르고 윗면을 가로지르는 여정은 평평한 시트 위의 하나의 직선거리 h+w/2이고, 이것이 시트의 한 변을 √2(w+h), 넓이를 2(w+h)²로 만든다.

시트를 좌표에 놓기
접기를 하나의 거리로 펼치기
그 거리를 평평한 시트에서 재기
시트의 한 변 구하기
변을 제곱해 넓이 구하기

시트를 좌표에 놓기

접기를 하나의 거리로 펼치기

그 거리를 평평한 시트에서 재기

시트의 한 변 구하기

변을 제곱해 넓이 구하기

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