AMC 10 · 2018 · #15

학년 8 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation
pythagorean-theoremarea-rectanglespaper-foldingspatial-visualization reflection-unfoldingidentify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
닫힌 상자의 밑면은 한 변이 w인 정사각형이고 높이는 h이다. 이 상자를 정사각형 포장지의 한가운데에, 밑면의 네 꼭짓점이 포장지의 두 중앙선 위에 놓이도록 돌려서 올린다. 포장지의 네 모서리를 옆면 위로 접어 올려 상자 윗면의 중심인 점 A에서 모이게 한다. 정사각형 포장지의 넓이를 구한다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$2(w+h)^2$
(B)
$frac{(w+h)^2}2$
(C)
$2w^2+4wh$
(D)
$2w^2$
(E)
$w^2h$

AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 공간 상상하기

도구 #17 (공간 상상하기): 어려운 부분은 접기이다. 평평한 삼각형 포장지 조각이 상자 옆면 위로 접혀 올라간 뒤 윗면 위에 놓여 A에 닿는다. 이 경로를 머릿속에서 펼치면, 전체 여정이 평평한 시트 위에서 잰 하나의 직선 수직거리가 되어 계산할 수 있다. 도구 #1 (그림 그리기): 시트를 xy-좌표에 놓고 밑면 꼭짓점을 축 위에 두면 기울기가 깔끔한 수가 된다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 미지의 거리를 쉬운 두 조각으로 나눈다 — 옆면을 타고 오르는 거리(h)와 윗면에서 모서리부터 중심까지 가로지르는 거리(w/2) — 그리고 더한다.

1STEP 1

시트를 좌표에 놓기

축에 놓으면 밑면 꼭짓점은 (d,0),(0,d),(-d,0),(0,-d). 한 변 (d,0)~(0,d)이라 피타고라스로 d√(2)=w.

d√(2)=w → d=w/√(2)
2STEP 2

접기를 하나의 거리로 펼치기

펼치면 모서리 (S/2,S/2)는 접힌 선에서 직선거리 h+w/2: 옆면 오름 h와 윗면 가로지름 w/2의 합.

(모서리에서 밑면 변까지의 수직거리) = h+w/2
3STEP 3

그 거리를 평평한 시트에서 재기

접힌 선은 x+y=d 위에 있어 모서리의 수직거리는 (S-d)/√(2). 이를 h+w/2와 같다고 둔다.

(S-d)/√(2) = h+w/2
4STEP 4

시트의 한 변 구하기

√(2)를 없애고 d=w/√(2)를 대입하면 두 w/√(2) 항이 w√(2)로 합쳐져 S=√(2)(w+h).

S = w√(2)+√(2) h = √(2) (w+h)
5STEP 5

변을 제곱해 넓이 구하기

넓이는 S²=(√(2)(w+h))². 제곱하면 √(2)는 2가 되고 (w+h)²는 남아 2(w+h)² — (A).

S² = (√(2))² (w+h)² = 2(w+h)² → (A)
정답
2(w+h)²
w=2,h=1로 시험해 보자. 그러면 S=√2(3)=3√2이고 넓이는 2·3²=18이다. 포장지가 덮는 것을 따져 다른 방법으로 확인하자: 상자의 밑면(w²=4), 네 옆면(4wh=8), 윗면(w²=4)을 합하면 16이고, 옆면을 오르며 겹치는 네 개의 작은 모서리 삼각형이 남은 2를 더해 18이 된다 — 일치한다. 단위 감각으로도 통과한다: (E)를 제외한 모든 보기가 넓이 단위이고, (A)는 w나 h가 커질 때 올바르게 커진다. 반면 (D) 2w²는 높이를 완전히 무시하고, (C) 2w²+4wh는 모서리 삼각형을 뺀 상자의 겉넓이 그 자체라서 둘 다 모자란다.
💡핵심 정리

접기를 펼치자: 포장지 모서리가 옆면을 오르고 윗면을 가로지르는 여정은 평평한 시트 위의 하나의 직선거리 h+w/2이고, 이것이 시트의 한 변을 √2(w+h), 넓이를 2(w+h)²로 만든다.

  • 시트를 좌표에 놓기
  • 접기를 하나의 거리로 펼치기
  • 그 거리를 평평한 시트에서 재기
  • 시트의 한 변 구하기
  • 변을 제곱해 넓이 구하기

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