AMC 10 · 2018 · #17

학년 7 number-theory

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Integrality / Divisibility Screen

fraction-arithmeticbound-inequality-then-enumerateextremal-constructioninterval-arithmeticlinear-diophantine extreme-principlebound-inequality-then-enumerateconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticinterval-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

분수 하나가 9분의 5보다 크고 7분의 4보다 작게 되는 양의 정수 분자와 분모를 찾되, 분모가 가능한 한 작은 쌍을 고르세요. 그런 다음 분모에서 분자를 뺀 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 극단의 원리

최솟값을 묻는 문제이므로 할 일이 둘로 나뉜다. 작은 q는 불가능함을 증명하고, 가능한 q를 하나 실제로 제시하는 것이다. 하한을 증명하려면 먼저 분모를 없애 두 조건을 정수만의 이야기로 바꾼다. 그다음 정수와 실수를 가르는 단 하나의 사실을 쓴다. 양의 정수는 0보다 크기만 한 것이 아니라 적어도 1이라는 사실이다. 이렇게 얻은 두 부등식을 적절한 가중치로 더하면 p가 사라지고 q의 확실한 하한이 남는다. 마지막으로 그 하한이 실제로 달성되는지 확인한다. 하한만으로는 도달 가능성이 증명되지 않기 때문이다.

1STEP 1

찾으려는 것에 이름 붙이기

찾는 것에 이름을 붙입니다.

5/9 ＜ p/q ＜ 4/7, p, q 는 양의 정수

2STEP 2

분모 없애기

두 부등식에서 분모를 없앱니다.

5/9 ＜ p/q ⇔ 5q ＜ 9p, p/q ＜ 4/7 ⇔ 7p ＜ 4q

3STEP 3

각 차이는 적어도 1

정수 차이는 적어도 1입니다.

9p - 5q ≥ 1, 4q - 7p ≥ 1

4STEP 4

두 차이를 합쳐 q 가두기

두 차이를 조합하면 분모가 갇힙니다.

q = 7(9p - 5q) + 9(4q - 7p) ≥ 7 · 1 + 9 · 1 = 16

5STEP 5

같은 방법으로 p 묶기

같은 방법이 분자도 가둡니다.

p = 4(9p - 5q) + 5(4q - 7p) ≥ 4 · 1 + 5 · 1 = 9

6STEP 6

q가 16일 때 p 확정

최소 분모에서 분자가 하나로 정해집니다.

q = 16 → p ≥ 9 이고 7p ＜ 64 → p ≤ 9 → p = 9

7STEP 7

확인하고 빼기

빼면 7입니다.

5/9 ＜ 9/16 ＜ 4/7, q - p = 16 - 9 = 7

정답

구간이 얇다. 4/7 - 5/9 = 1/63이므로 그 안에 들어가는 분수는 아슬아슬하게 맞아떨어져야 하고, 분모가 십몇이 되는 것은 놀랍기보다 자연스럽다. 작은 분모를 손으로 확인해 보아도 같은 결론이 나온다. q = 7이면 분자가 35/9 ≈ 3.89와 4 사이에 엄격히 있어야 하고, q = 9이면 5와 36/7 ≈ 5.14 사이에 엄격히 있어야 한다. 두 구간 모두 정수를 하나도 담지 못하며, 16 미만의 다른 q도 마찬가지다. 승자는 유일하기도 하다. q = 16에서는 p = 9만 가능하므로 q - p가 잘 정의된다. 수치로 보면 9/16 = 0.5625가 0.5556과 0.5714 사이에 넉넉히 놓이고, q - p = 7은 선택지 (A)와 일치한다.

💡핵심 정리

정수는 서로를 아주 조금만 앞설 수 없으므로, 분수 사이의 좁은 틈은 큰 분모를 강제한다.

찾으려는 것에 이름 붙이기
분모 없애기
각 차이는 적어도 1
두 차이를 합쳐 q 가두기
같은 방법으로 p 묶기
q가 16일 때 p 확정
확인하고 빼기