AMC 10 · 2018 · #22

학년 11 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

stars-and-barsfunction-evaluationsymmetry-argumentdigit-constraintscomplementary-counting complementary-countingconvert-to-algebrasymmetry-argument ↑ 선수 지식: stars-and-barsfunction-evaluation

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

차수가 많아야 3인 다항식은 계수가 네 개이고, 각 계수는 0부터 9까지의 한 자리 숫자입니다. 그런 다항식 중에서 마이너스 1을 넣은 값이 마이너스 9가 되는 것이 몇 개인지 세세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

110

(B)

143

(C)

165

(D)

220

(E)

286

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

x = -1을 대입하면 조건이 네 숫자에 대한 일차방정식 하나로 바뀐다. 그런데 그중 둘에 마이너스 부호가 붙어 있어서 표준적인 세기 공식을 전혀 쓸 수 없다. 해결책은 그 두 숫자를 반대쪽 끝에서 바라보는 것이다. a 대신 a가 9에서 얼마나 모자라는지를 쓰면 된다. 0부터 9까지의 숫자는 이 뒤집기에 대해 대칭이므로 바꿔도 잃는 것이 없고, 부호가 섞인 방정식이 "음이 아닌 수들이 정해진 합을 이룬다"는 문제로 바뀌어 별과 막대로 바로 셀 수 있게 된다.

1STEP 1

네 계수에 이름 붙이기

네 계수에 이름을 붙입니다.

P(x) = ax³ + bx² + cx + d, a, b, c, d ∈ {0, 1, …, 9}

2STEP 2

-1을 대입하기

마이너스 1을 넣으면 부호가 번갈아 나옵니다.

P(-1) = -a + b - c + d = -9

3STEP 3

무엇이 세기를 막는지 보기

부호가 섞여 있어 바로 셀 수 없습니다.

#{(a, b, c, d) ∈ {0, …, 9}⁴ : -a + b - c + d = -9}

4STEP 4

음수 부호가 붙은 두 숫자 뒤집기

음수 쪽 숫자를 9에서 빼서 뒤집습니다.

(a' - 9) + b + (c' - 9) + d = -9 ⟹ a' + b + c' + d = 9

5STEP 5

바꿔치기로 잃는 것이 없는지 확인하기

이 바꿔치기는 아무것도 잃지 않습니다.

a ↦ 9 - a 는 {0, …, 9}를 자기 자신 위로 보내며 자기 자신이 역함수다

6STEP 6

숫자 상한이 걸리지 않음을 확인하기

한 자리 상한도 저절로 지켜집니다.

a' + b + c' + d = 9 이고 모든 항이 ≥ 0 ⟹ 각 항 ≤ 9

7STEP 7

9개를 네 칸에 나누기

9를 네 칸에 나누면 220입니다.

C(9 + 4 - 1, 4 - 1) = C(12, 3) = (12 · 11 · 10)/(3 · 2 · 1) = 220

정답

220

숫자 순서쌍은 모두 10⁴ = 10000개이므로 그중 220개는 약 2%다. 이는 납득할 만한 비율이다. -a + b - c + d의 값은 -18부터 18까지 37개의 정수에 퍼져 있고 값 0에서 해가 670개로 가장 많은데, -9는 꼬리 쪽으로 꽤 치우쳐 있기 때문이다. 보기들도 이 문제의 핵심이 계산에 있음을 보여 준다. C(11, 3) = 165는 보기 (C), C(13, 3) = 286은 보기 (E)로, 합을 8이나 10으로 잘못 두었을 때 나오는 값이다. 6단계의 상한 확인도 제 몫을 한다. 만약 합이 10이었다면 별과 막대의 값 286은 4만큼 많이 센 것이 된다. 변수 하나가 10까지 올라가는 해가 네 개 있기 때문이다. 합이 9일 때는 그런 해가 없으므로 C(12, 3) = 220이 정확하다.

💡핵심 정리

합 방정식에 마이너스 부호가 있으면 그 변수들을 아래쪽이 아니라 위쪽 끝에서 재라. a 대신 9 - a를 쓰면 전체가 정해진 총량을 나눠 주는 간단한 문제로 바뀐다.

네 계수에 이름 붙이기
-1을 대입하기
무엇이 세기를 막는지 보기
음수 부호가 붙은 두 숫자 뒤집기
바꿔치기로 잃는 것이 없는지 확인하기
숫자 상한이 걸리지 않음을 확인하기
9개를 네 칸에 나누기