AMC 10 · 2018 · #9
학년 6 algebra답을 골라 클릭하세요.
10,000개의 항은 이미 한 가지 방식 — 쌍 하나하나 — 으로 정리되어 있지만, 그 방식은 쓸모가 없다. 10,000개를 손으로 더하는 사람은 없기 때문이다. 도구 #15(다르게 정리하기)는 같은 항들을 100 × 100 격자로 다시 배열하고 다른 질문을 던진다. 각 수는 몇 번이나 세어지는가? 같은 것을 여러 번 세는 일은 곱셈이 되고, 그러면 합 전체가 무너진다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 100을 3으로 줄여 아홉 개의 항을 한 줄에 늘어놓음으로써 그 구조를 먼저 보여 준다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 다루기 껄끄러운 i+j를 따로 처리할 수 있는 두 개의 깔끔한 합으로 나누고, 도구 #5(패턴 찾기)는 1+2+…+100을 위한 짝짓기 방법을 제공한다.
100을 3으로 줄이기
백을 셋으로 줄여 봅니다.
전부 적을 수 있을 만큼 작은 문제는 답의 모양을 보여 주고, 3이 100으로 바뀌어도 그 모양은 변하지 않는다.
6.EE.A.2Solve An Easier Related Problemi+j를 두 합으로 쪼개기
합을 두 개로 쪼갭니다.
두 부분으로 된 항들을 길게 더하는 것은, 앞부분끼리 다 더한 뒤 뒷부분끼리 다 더하는 것과 같다.
6.EE.A.3Identify Subproblems각 수가 몇 번 나오는지 세기
각 수가 백 번씩 나옵니다.
같은 수를 100번 적는 것은 그 수에 100을 곱하는 것이다. 개수를 세는 편이 더하는 것보다 낫다.
6.EE.A.3Organize Information In More Ways짝을 지어 1부터 100까지 더하기
1부터 100까지의 합은 짝을 지어 구합니다.
앞에서 하나씩 커지는 수와 뒤에서 하나씩 작아지는 수가 서로 맞물리므로, 모든 짝의 합이 같아진다.
목록의 앞에서 오르는 수와 뒤에서 내리는 수가 짝을 이루므로, 모든 짝의 합이 같다.
▸ 왜?
고르게 늘어선 목록에서 안쪽으로 옮기면 한쪽이 오른 만큼 다른 쪽이 내려간다.
▸ 왜?
연속한 정수는 같은 간격으로 오르며, 그래서 목록이 고르게 늘어선다.
곱해서 마무리하기
곱해 더하면 101만입니다.
이미 계산해 둔 똑같은 두 덩어리는 두 배만 하면 된다.
5.NBT.B.5Organize Information In More Ways항이 너무 많아 하나씩 더할 수 없을 때는 더하기를 멈추고 각 수가 몇 번 나오는지 세어 보자. 그다음엔 곱하면 된다.
- 100을 3으로 줄이기
- i+j를 두 합으로 쪼개기
- 각 수가 몇 번 나오는지 세기
- 짝을 지어 1부터 100까지 더하기
- 곱해서 마무리하기