AMC 10 · 2019 · #1
학년 7 geometry-2d area-circlespercentageratio-proportionfraction-arithmetic identify-subproblemsdimensional-analysiseasier-related-problem ↑ 선수 지식: area-circlespercentage
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
피자 하나는 반지름이 4인치이고 다른 하나는 3인치입니다. 큰 피자의 넓이는 작은 피자의 넓이보다 N퍼센트 더 큽니다. N에 가장 가까운 정수를 구하세요.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
25
(B)
33
(C)
44
(D)
66
(E)
78
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기
이 문제는 작은 질문 두 개가 겹쳐 있으므로 나누어 푼다(도구 #7): 먼저 반지름에서 각 피자의 넓이를 구하고, 그다음 두 넓이를 퍼센트 비교로 바꾼다. 도구 #8은 "무엇에 대한 퍼센트인가?"를 물어 퍼센트를 정확하게 지켜 준다. "반지름 3인 피자보다 더 크다"라는 문구는 큰 쪽이 아니라 작은 쪽 넓이를 기준으로 삼는다. 이어서 도구 #9로 문제를 단순하게 만든다: π는 두 넓이에 모두 들어 있어 약분되므로, 복잡해 보이던 원의 수들이 자연수만의 분수로 줄어든다.
1STEP 1
각 피자의 넓이 쓰기
두 피자의 넓이를 씁니다.
A_big = π · 4² = 16π, A_small = π · 3² = 9π
넓이는 이차원의 양이므로, π가 곱해지기 전에 반지름이 먼저 제곱된다.
7.G.B.4Identify Subproblems2STEP 2
퍼센트가 무엇을 비교하는지 정하기
퍼센트의 기준은 작은 쪽입니다.
N/100 = (A_big - A_small)/A_small = (16π - 9π)/9π = 7π/9π
"X보다 더 크다"는 늘 늘어난 양을 X로 나눈 것이지, 새로운 양을 X로 나눈 것이 아니다.
무엇보다 크다는 말은 언제나 늘어난 양을 그 무엇으로 나눈 것이지, 새 양을 그것으로 나눈 것이 아니다.
▸ 왜?
퍼센트는 견주는 대상의 100분의 몇이므로, 그 기준이 뜻을 정한다.
퍼센트는 100분의 목p%는 100 중 p를 뜻하므로, 어떤 양의 p%는 그 양의 (p/100)배이다.
▸ 왜?
늘어난 양은 두 값의 차이며, 그 비교가 실제로 말하는 바가 그것이다.
둘을 같이 옮기면 차는 그대로두 점을 수직선에서 같은 거리만큼 밀면 둘 사이의 간격은 결코 변하지 않는다.
3STEP 3
π를 약분하고 나누기
파이가 약분됩니다.
7π/9π = 7/9 = 0.7777…
두 넓이의 비는 π와 무관하다. π가 두 넓이를 똑같이 키우기 때문이다.
6.RP.A.3Solve An Easier Related Problem4STEP 4
퍼센트로 바꾸고 반올림하기
퍼센트로 바꿔 반올림하면 78입니다.
N = 7/9 × 100 = 700/9 = 77.7 ≈ 78
퍼센트란 기준이 100이 되도록 분수의 크기를 다시 잡은 것일 뿐이다.
7.NS.A.2Identify Subproblems정답
78
주장을 직접 확인해 보자. 16π는 정말 9π보다 약 78% 큰가? 9π를 78% 키우면 9π × 1.78 = 16.02π로, 사실상 처음의 16π와 같으므로 퍼센트가 맞다. 대략적인 범위로도 확인된다: 큰 넓이는 작은 넓이의 두 배에 조금 못 미치므로 N은 100보다 조금 작아야 하고, 그러면 25나 33 같은 작은 선택지는 바로 제외된다. 함정 선택지도 눈에 보인다. 16/9 ≈ 1.78을 성급하게 178%로 읽거나, 엉뚱한 피자로 나눈 (16-9)/16 ≈ 44%(선택지 C), 넓이 대신 반지름을 비교한 (4-3)/3 ≈ 33%(선택지 B)가 그것이다.
💡핵심 정리
"몇 퍼센트 더 크다"는 늘어난 양을 처음 양으로 나눈 것이므로, 먼저 빼고 나서 작은 쪽으로 나누면 된다.
- 각 피자의 넓이 쓰기
- 퍼센트가 무엇을 비교하는지 정하기
- π를 약분하고 나누기
- 퍼센트로 바꾸고 반올림하기