AMC 10 · 2019 · #11
학년 8 number-theory base-conversionsequences-geometriclinear-diophantinedigit-constraints convert-to-algebrasystematic-enumeration ↑ 선수 지식: base-conversionsequences-geometric
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
어떤 밑 k에서 분수 51분의 7을 k진법 소수로 쓰면 0.232323이 끝없이 반복되는 꼴이 됩니다. 양의 정수 k를 구하세요.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
13
(B)
14
(C)
15
(D)
16
(E)
17
풀이 과정
전략 가능성 지우기
도구 #3 (지우기): k 의 후보는 단 5 개 — 각각 대입해 7/51과 비교하면 됩니다. 도구 #6 (추측하고 확인): 각 선택지를 대입해 한 번의 산수 검증. 도구 #13 (대수): 등식 (2k+3)/(k²-1) = 7/51을 세워 검사 대상 식을 명확히 합니다.
1STEP 1
반복 소수를 분수로
두 자리 반복이라 분모가 제곱 빼기 1입니다.
0.23_k = (2k+3)/(k²-1)
10 진법 0.ab = (10a+b)/99와 같은 원리 — 10 → k, 99 → k²-1.
되풀이되는 전개가 분수가 되는 것은, 한 주기만큼 밀면 꼬리가 자기 자신과 맞춰지기 때문이다.
▸ 왜?
밑의 거듭제곱을 곱하면 모든 자릿수가 그만큼 밀릴 뿐 어느 것도 달라지지 않는다.
자리값 묶기1이 열이면 10 하나, 10이 열이면 100 하나 — 각 자리는 아래 자리 열 개를 묶은 것이다.
▸ 왜?
끝없는 두 꼬리가 똑같으므로, 빼면 그것이 사라지고 유한한 수가 남는다.
둘을 같이 옮기면 차는 그대로두 점을 수직선에서 같은 거리만큼 밀면 둘 사이의 간격은 결코 변하지 않는다.
2STEP 2
이차방정식 세우기
양변을 곱하면 이차방정식이 됩니다.
7k² - 102k - 160 = 0
분수를 없애려 교차곱한 뒤 한 변에 모음.
8.EE.C.7Convert To Algebra3STEP 3
정수 근 찾기
정수 후보를 넣어 맞는 값을 찾습니다.
k = 16: 7(256) - 102(16) - 160 = 1792 - 1632 - 160 = 0 ✓
다섯 후보, 한 식, 각각 대입 한 번 — 직접 지우기.
6.EE.B.5Eliminate Possibilities4STEP 4
되돌려 확인
약분하면 원래 분수가 되어 답은 16입니다.
35/255 = 7/51 → (D) 16
35/255를 gcd = 5로 약분 — 정확히 7/51.
4.NF.A.1Guess And Check정답
16
7/51 ≈ 0.1373. 16 진법 0.23₁₆ = 35/255 ≈ 0.1373 — 일치. 다른 선택지는 k = 13 → 29/168, k = 14 → 31/195, k = 15 → 33/224, k = 17 → 37/288 — 모두 7/51과 다름. (D)만 통과.
💡핵심 정리
이 AMC 12 문제는 8학년 때 배운 방정식 풀이만 알면 풀 수 있어요 — k 진법 순환을 (2k+3)/(k²-1)로 바꾸고 7/51과 같다 놓고 후보를 대입하면 k = 16. 답은 (D).