AMC 10 · 2019 · #12
학년 11 algebra답을 골라 클릭하세요.
도구 #4 (변수 도입): 이 문제의 모든 양은 결국 밑이 2 인 로그입니다. a = log₂{x}, b = log₂{y}로 이름을 붙이면 로그 조건 세 개가 평범한 대수식 세 개로 바뀝니다. 도구 #13 (대수로 바꾸기): 밑 변환 공식과 로그 법칙으로 두 조건과 목표식을 모두 a, b 의 식으로 바꿉니다. 도구 #15 (다르게 정리): 목표 (a-b)²은 a, b 를 따로 구할 필요가 없습니다. (a+b)² - 4ab 로 바꿔 쓰면 두 조건을 그대로 대입할 수 있어 이차방정식을 풀지 않아도 됩니다.
두 로그에 이름 붙이기
두 로그에 이름을 붙입니다.
밑이 2 인 로그는 "2의 몇 제곱인가?" 를 답할 뿐이므로, x, y 를 지수로 바꿔도 잃는 정보가 없습니다.
11.F-BF.B.4Introduce A Variable첫 조건을 ab = 4로
첫 조건이 곱을 정해 줍니다.
밑 변환은 모든 로그를 하나의 공통 밑으로 다시 쓰게 해 주므로, 밑이 다른 것은 더 이상 장애물이 아닙니다.
11.F-LE.A.4Convert To Algebra둘째 조건을 a + b = 6으로
둘째 조건이 합을 정해 줍니다.
2의 거듭제곱끼리 곱하면 지수는 더해지므로, 곱 조건이 합 조건으로 바뀝니다.
한 밑의 거듭제곱을 곱하면 지수가 더해지므로, 곱에 관한 조건이 합에 관한 조건이 된다.
▸ 왜?
지수는 밑을 몇 번 쓰는지를 세므로, 거듭제곱을 합치면 그 횟수가 합쳐진다.
▸ 왜?
한 밑의 같은 두 거듭제곱은 지수도 같아야 하므로, 그렇게 옮겨도 잃는 것이 없다.
목표식을 (a - b)²로
목표는 차의 제곱입니다.
로그 안에서 나누면 밖에서는 빼기가 되므로, x 와 y 의 비는 a 와 b 의 차가 됩니다.
8.EE.A.1Convert To Algebra합과 곱만으로, 풀지 않고 끝내기
풀지 않고 합과 곱만으로 20이 나옵니다.
두 수의 합과 곱을 알면 두 수의 차는 부호까지만 남기고 정해지는데, 제곱하면 그 부호마저 사라집니다.
9.A-SSE.A.2Organize Information In More Ways이 AMC 12 문제는 11학년 로그 법칙만 있으면 됩니다. a = log₂{x}, b = log₂{y}로 두면 두 조건은 ab = 4와 a + b = 6이 되고, (a-b)² = (a+b)² - 4ab = 36 - 16 이므로 a, b 를 직접 구할 필요가 없습니다. 답은 (B).
- 두 로그에 이름 붙이기
- 첫 조건을 ab = 4로
- 둘째 조건을 a + b = 6으로
- 목표식을 (a - b)²로
- 합과 곱만으로, 풀지 않고 끝내기