AMC 10 · 2019 · #14

학년 11 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

complex-numberspolynomial-rootsvieta-formulasquadratic-equationssystematic-enumeration convert-to-algebrasystematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: complex-numberspolynomial-roots

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

6차 다항식이 이미 세 개의 이차식의 곱으로 주어져 있습니다. 가운데 이차식만 복소수 계수 하나를 모릅니다. 이 곱 전체의 서로 다른 근이 정확히 네 개라고 합니다. 모르는 그 계수의 절댓값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$\sqrt{6}$

(C)

$2\sqrt{2}$

(D)

(E)

$\sqrt{10}$

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

주어진 P는 계수의 목록입니다. 그런데 계수만 봐서는 서로 다른 근이 몇 개인지 알 수 없습니다. 같은 다항식을 저장하는 두 번째 방법이 있습니다. 바로 여섯 개 근의 목록입니다. 이 두 번째 형식으로 바꾸면 주어진 조건이 한눈에 읽힙니다. "서로 다른 근이 정확히 4개"라는 말은 계수가 아니라 근 목록에 대한 진술이기 때문입니다. 그래서 계획은 이렇습니다. 바꿀 수 있는 인수는 모두 근으로 바꾸고, 개수 조건이 바꿀 수 없는 인수에 무엇을 강요하는지 보고, 마지막에 근의 합을 이용해 다시 계수로 되돌립니다.

1STEP 1

먼저 중복도까지 세어 보기

중복도까지 세면 근이 여섯 개입니다.

deg P = 2 + 2 + 2 = 6, #{roots with multiplicity} = 6, #{distinct roots} = 4

2STEP 2

미지수 없는 두 이차식 풀기

아는 두 이차식을 먼저 풉니다.

x = (2 ± √(-4))/2 = 1 ± i, x = (4 ± √(-16))/2 = 2 ± 2i

3STEP 3

c 말고 근을 쫓기

계수 대신 근을 쫓습니다.

roots of x² - cx + 4 ⊆ {1+i, 1-i, 2+2i, 2-2i}

4STEP 4

두 근에 이름을 붙이고 근과 계수의 관계 쓰기

근과 계수의 관계가 합과 곱을 줍니다.

(x-r)(x-s) = x² - (r+s)x + rs ⟹ r + s = c, rs = 4

5STEP 5

곱이 4가 되는 짝 모두 확인하기

곱이 맞는 짝을 모두 확인합니다.

(1+i)(2-2i) = 2 - 2i + 2i + 2 = 4, (1-i)(2+2i) = 2 + 2i - 2i + 2 = 4

6STEP 6

남은 짝을 더하고 절댓값 구하기

절댓값을 구하면 루트10입니다.

c = 3 - i or c = 3 + i, |c| = √(9 + 1) = √(10)

정답

√(10)

c = 3 - i를 다시 넣어 봅니다. 그러면 x² - (3-i)x + 4는 근의 합이 3 - i이고 근의 곱이 4이므로, 두 근은 정확히 1+i와 2-2i입니다. 이 둘은 나머지 두 인수의 근에 이미 들어 있으므로 P의 근 목록은 1+i, 1-i, 2+2i, 2-2i, 1+i, 2-2i가 됩니다. 중복도까지 여섯 개, 서로 다른 값은 네 개로 조건과 맞습니다. 빠뜨린 경우가 없다는 것도 이 확인으로 알 수 있습니다. 가운데 인수가 후보 밖의 값을 중근으로 가지면 서로 다른 근이 5개, 서로 다른 새 근 두 개를 가지면 6개가 되므로, 후보 집합으로 제한해도 잃는 경우가 없습니다. 마지막으로 √(10) ≈ 3.16이고 두 c 후보 모두 실수부가 3이므로, 절댓값이 3보다 조금 큰 것은 예상과 맞습니다.

💡핵심 정리

다항식은 근 목록이 변장한 것입니다. 문제가 근의 개수를 세라고 하면 근 목록으로 갈아타고, 마지막에 계수를 다시 읽어 내면 됩니다.

먼저 중복도까지 세어 보기
미지수 없는 두 이차식 풀기
c 말고 근을 쫓기
두 근에 이름을 붙이고 근과 계수의 관계 쓰기
곱이 4가 되는 짝 모두 확인하기
남은 짝을 더하고 절댓값 구하기