AMC 10 · 2019 · #15

학년 11 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

logarithm-propertiesperfect-squaresbound-inequality-then-enumeratesystematic-enumeration convert-to-algebrabound-inequality-then-enumeratesystematic-enumeration ↑ 선수 지식: logarithm-propertiesperfect-squares

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

양의 실수 a와 b가 한 방정식을 만족합니다. a의 상용로그의 제곱근, b의 상용로그의 제곱근, 루트 a의 상용로그, 루트 b의 상용로그를 모두 더하면 100입니다. 네 항이 각각 양의 정수입니다. 두 수의 곱을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$10^{52}$

(B)

$10^{100}$

(C)

$10^{144}$

(D)

$10^{164}$

(E)

$10^{200}$

풀이 과정

전략 변수 도입하기

도구 #4(변수 도입하기): 이 식 전체는 log a와 log b 단 두 개의 수로 만들어져 있다. 그 둘에 이름을 붙이면 복잡해 보이던 네 항이 √(x) + √(y) + x/2 + y/2로 줄어든다. 이어서 제곱근 자체에도 이름을 붙인다. 문제가 정수라고 보장한 값이 바로 그것이기 때문이다. 도구 #3(가능성 지우기): 제곱근도 정수, 절반도 정수라는 두 조건이 후보를 아주 얇게 깎아낸다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기): 남는 것은 양의 정수 두 개에 대한 작은 식 하나뿐이므로, 값을 나열해서 맞는 짝을 바로 읽어내면 된다.

1STEP 1

두 로그에 이름 붙이기

두 로그에 이름을 붙입니다.

√(x) + √(y) + x/2 + y/2 = 100

2STEP 2

제곱근이 정수여야 한다

제곱근이 정수라 두 수는 완전제곱입니다.

√(x) = m, x = m², √(y) = n, y = n²

3STEP 3

절반 조건이 짝수를 강제한다

절반 조건이 제곱근을 짝수로 만듭니다.

m = 2p, x = 4p²; n = 2q, y = 4q²

4STEP 4

식을 다시 세우기

식을 다시 세우면 단순해집니다.

2p + 2q + 2p² + 2q² = 100 ⟹ p² + p + q² + q = 50 ⟹ p(p+1) + q(q+1) = 50

5STEP 5

곱의 값을 나열하기

곱의 값을 나열해 짝을 찾습니다.

p(p+1) ∈ {2, 6, 12, 20, 30, 42}, 20 + 30 = 50 ⟹ {p, q} = {4, 5}

6STEP 6

다시 ab로 돌아가기

다시 되돌리면 10의 164제곱입니다.

log a = 64, log b = 100 ⟹ ab = 10⁶⁴ · 10¹⁰⁰ = 10¹⁶⁴ → (D)

정답

10¹⁶⁴

구한 값을 원래 식에 다시 넣어 보자. √(log a) = 8, √(log b) = 10, log √(a) = 64/2 = 32, log √(b) = 100/2 = 50이다. 네 값 모두 양의 정수이고 8 + 10 + 32 + 50 = 100으로 조건과 정확히 맞는다. 크기도 따로 확인할 수 있다. 뒤의 두 항에서 (log a + log b)/2 = 100 - (8 + 10) = 82이므로 log(ab) = 164이다. 지수는 200보다 조금 작고 100보다는 확실히 크므로 10¹⁰⁰과 10²⁰⁰은 바로 제외된다. 아깝게 빗나가는 선택지도 같은 구조적 이유로 탈락한다. log(ab) = 144라면 m + n = 100 - 144/2 = 28과 m² + n² = 144가 동시에 성립해야 하는데, m + n = 28이면 이미 m² + n² ≥ 28²/2 = 392이다. 164일 때만 두 조건이 서로 맞는다.

💡핵심 정리

두 로그에 이름을 붙이고 "제곱근도 정수, 절반도 정수"라는 조건으로 조여 가면 log a = 64, log b = 100이 남고, 곱은 ab = 10¹⁶⁴, 즉 선택지 (D)이다.

두 로그에 이름 붙이기
제곱근이 정수여야 한다
절반 조건이 짝수를 강제한다
식을 다시 세우기
곱의 값을 나열하기
다시 ab로 돌아가기