AMC 10 · 2019 · #16
학년 7 probability parityprobability-basiccombinations-basicsystematic-enumerationpattern-recognition caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: parityprobability-basic
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
1부터 9까지의 수를 3 곱하기 3 격자의 아홉 칸에 무작위로 하나씩 넣습니다. 모든 행과 모든 열의 세 수의 합이 홀수가 될 확률을 구하세요.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
$\frac{1}{21}$
(B)
$\frac{1}{14}$
(C)
$\frac{5}{63}$
(D)
$\frac{2}{21}$
(E)
$\frac{1}{7}$
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기
도구 #7 (쪼개기): 값은 신경 쓰지 않고 홀/짝 패턴만 본다. 부분 문제 1 — 어떤 3 × 3 홀짝 패턴이 모든 행·열 합을 홀수로 만드는가? 부분 문제 2 — 그 패턴마다 실제 수 배치는 몇 가지인가? 도구 #2 (나열): 유효 홀짝 패턴 열거. 도구 #16 (관점 바꾸기): 홀 5 + 짝 4 라는 고정 합으로 인해 짝수 4 개는 2 × 2 사각형을 이루도록 강제됨.
1STEP 1
홀짝만 남기기
실제 값 대신 홀짝만 봅니다.
5 = 3 + 1 + 1
행 합이 홀수 → 홀수 개수가 홀수 — 5 = 3 + 1 + 1.
줄의 합이 홀수인 것은 그 줄에 홀수인 항목이 홀수 개 있을 때뿐이다.
▸ 왜?
홀수는 둘씩 짝지어 짝수가 되므로, 짝을 잃은 홀수만이 합을 뒤집을 수 있다.
짝수와 홀수(패리티)정수는 2로 나누어지면 짝수, 아니면 홀수; 홀×홀은 홀수, 짝×무엇이든 짝수다.
▸ 왜?
줄의 합은 그 항목을 더한 것이므로, 홀짝은 오로지 그 안의 것으로 정해진다.
전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
2STEP 2
짝수의 배치 모양
짝수 넷은 2 곱하기 2 덩어리를 이룹니다.
짝수는 2 × 2 부분격자에 위치
비특수 2 행 × 비특수 2 열 = 짝수 자리 정확히 4 칸.
2.OA.C.3Make A Systematic List3STEP 3
가능한 배치 세기
행과 열을 골라 아홉 가지가 나옵니다.
#패턴 = 3 · 3 = 9
독립 선택: 모두 홀수 행과 모두 홀수 열을 각각 고름.
7.SP.C.8Make A Systematic List4STEP 4
각 배치의 채우는 방법
홀수와 짝수를 각각 자유롭게 배치합니다.
#패턴당 = 5! · 4! = 120 · 24 = 2880
홀수 자리에 홀수, 짝수 자리에 짝수 — 두 그룹 독립.
7.SP.C.8Identify Subproblems5STEP 5
확률 계산
전체로 나누면 14분의 1입니다.
P = (9 · 5! · 4!)/9! = 25920/362880 = 1/14 → (B)
유리 / 전체 — 팩토리얼이 깔끔하게 약분됨.
7.SP.C.8Identify Subproblems정답
1/14
다른 형태 검증: (9 · 5! · 4!)/9! = 9/(C(9, 4)) = 9/126 = 1/14. C(9, 4) = 126은 9 칸 중 짝수 자리 4 칸을 고르는 경우, 그중 유리한 경우는 2 × 2 직사각형 (2 행 × 2 열 고르기 C(3, 2)C(3, 2) = 9) — 일치. (A) 1/21, (C) 5/63 등은 행·열 독립 카운팅 실수 시 나올 함정.
💡핵심 정리
이 AMC 12 문제는 7학년 때 배운 홀짝과 세기만 알면 풀 수 있어요 — 짝수 4 개가 2 × 2 직사각형을 이뤄야 하므로 패턴 C(3, 2)C(3, 2) = 9, 확률 P = 9/(C(9, 4)) = 1/14. 답은 (B).