AMC 10 · 2019 · #17

학년 11 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Symmetric Function of Roots via Vieta

polynomial-rootsrecursive-sequencesymmetric-polynomialspolynomial-substitution easier-related-problempattern-recognitionpolynomial-substitution ↑ 선수 지식: polynomial-rootsrecursive-sequence

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

어떤 삼차식에 세 근이 있습니다. 각 k에 대해 그 근들의 k제곱의 합을 s_k라 합니다. 세 개의 고정된 실수 a, b, c가 있어서 s의 다음 항이 앞선 세 항의 일차결합으로 표현되고, 이것이 2 이상의 모든 k에서 성립합니다. a 더하기 b 더하기 c를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-6

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #9 (더 쉬운 문제): 합 s_k 를 바로 다루기는 어렵지만 근 하나는 쉽다 — 근을 다항식에 넣으면 0이 되는 깔끔한 식 하나가 나온다. 근 하나짜리 문제를 먼저 풀고, 그 결과 세 개를 다시 더한다. 도구 #4 (변수 도입): 근을 r₁, r₂, r₃으로 이름 붙여야 s_k 를 식으로 쓰고 다룰 수 있다. 도구 #5 (패턴): 근 하나짜리 식에 그 근의 거듭제곱을 곱하면 모든 지수가 같은 만큼 올라가서 계수 세 개가 모든 층에서 그대로 재등장한다 — 그것이 바로 점화식이다. 도구 #3 (가능성 지우기): 선택지들이 부호 패턴 (5 - 8 + 13 대 5 + 8 + 13)으로 갈리므로 부호를 추측하지 말고 끝까지 추적해야 한다.

1STEP 1

근에 이름 붙이기

근의 거듭제곱 합에 이름을 붙입니다.

s_k = r₁^k + r₂^k + r₃^k

2STEP 2

근 하나, 식 하나

근 하나마다 방정식 하나가 있습니다.

r_i³ = 5r_i² - 8r_i + 13 (i = 1, 2, 3)

3STEP 3

지수 k 까지 밀어 올리기

거듭제곱을 곱해 지수를 올립니다.

r_i^ k+1 = 5 r_i^ k - 8 r_i^ k-1 + 13 r_i^ k-2

4STEP 4

세 식을 더하기

세 식을 더하면 계수가 그대로 나옵니다.

s_k+1 = 5 s_k - 8 s_k-1 + 13 s_k-2

5STEP 5

계수 비교하기

계수를 비교합니다.

a = 5, b = -8, c = 13

6STEP 6

더해서 답 고르기

더하면 10입니다.

a + b + c = 5 + (-8) + 13 = 10 → (D)

정답

k = 2 에서 수치 검증: 점화식은 s₃ = 5(9) - 8(5) + 13(3) = 45 - 40 + 39 = 44를 예측한다. 뉴턴 항등식으로 독립 계산해도 같다 — 비에트 정리로 e₁ = 5, e₂ = 8, e₃ = 13 이므로 p₃ = e₁ p₂ - e₂ p₁ + 3e₃ = 45 - 40 + 39 = 44. 한 단계 더 가도 일치한다: s₄ = 5(44) - 8(9) + 13(5) = 213이고 p₄ = e₁ p₃ - e₂ p₂ + e₃ p₁ = 220 - 72 + 65 = 213. 합 자체를 바로 보는 지름길 검산도 있다: 최고차항 계수가 1 인 삼차식 x³ + Ax² + Bx + C 에 같은 유도를 하면 a + b + c = -(A + B + C) = 1 - p(1)이고, 여기서 p(1) = 1 - 5 + 8 - 13 = -9 이므로 a + b + c = 1 - (-9) = 10. 두 경로 모두 10 이므로 (D)가 맞다. (E) 26은 부호를 빠뜨린 함정이고, -6 이나 0은 어떤 일관된 부호 배치로도 나오지 않는다.

💡핵심 정리

근은 다항식을 맞바꾸기 식으로 바꿔 준다: r³ = 5r² - 8r + 13. 여기에 r^k-2를 곱하고 근 세 개의 식을 더하면 다항식 자신의 계수가 부호만 뒤집힌 채 점화식으로 나타난다 — a = 5, b = -8, c = 13 이므로 a + b + c = 10, 답은 (D).

근에 이름 붙이기
근 하나, 식 하나
지수 k 까지 밀어 올리기
세 식을 더하기
계수 비교하기
더해서 답 고르기