AMC 10 · 2019 · #18
학년 8 geometry-3d pythagorean-theoremarea-trianglesisosceles-triangleinteger-pythagorean-triplesspatial-visualization identify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremarea-triangles
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
반지름이 6인 구가 세 변의 길이가 15, 15, 24인 삼각형에 놓여 있고 삼각형의 세 변이 모두 구에 접합니다. 구의 중심에서 삼각형이 놓인 평면까지의 거리를 구하세요.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
$2\sqrt{3}$
(B)
4
(C)
$3\sqrt{2}$
(D)
$2\sqrt{5}$
(E)
5
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기
도구 #7(작은 문제로 쪼개기): (가) 평면 안 15-15-24 삼각형의 내접원 반지름 구하기, (나) 3차원 직각삼각형으로 d 구하기 — 두 단계로 분리. 도구 #1(그림): 삼각형 평면도와 구·평면 옆면도를 그리면 R² = r² + d² 관계가 한눈에. 도구 #9(더 쉬운 문제): 15-15-24를 대칭축으로 자르면 9-12-15 직각삼각형 두 개 — 3-4-5의 비율 — 넓이가 즉시 나옴.
1STEP 1
삼각형의 높이 구하기
이등변이라 높이가 바로 나옵니다.
h = √(15² - 12²) = √(81) = 9
피타고라스 정리로 이등변을 익숙한 9-12-15 직각삼각형으로 환원.
8.G.B.7Draw A Diagram2STEP 2
넓이와 둘레의 절반
넓이와 둘레의 절반을 계산합니다.
A = 108, s = 27
표준 넓이 공식과 둘레의 절반.
6.G.A.1Identify Subproblems3STEP 3
내접원의 반지름
두 값의 비가 내접원 반지름입니다.
r = A/s = 108/27 = 4
내접원 반지름 = 넓이 / 반둘레. 그리고 그 원이 바로 구의 단면.
내접원의 반지름은 넓이를 둘레의 절반으로 나눈 것이며, 구가 잘린 자리가 바로 그 원이다.
▸ 왜?
중심에서 꼭짓점으로 이으면 삼각형이 세 조각으로 갈리며, 각 조각은 한 변 곱하기 같은 높이의 절반이다.
삼각형의 넓이삼각형의 넓이는 밑변×높이의 절반이다.
▸ 왜?
그 공통 높이는 각 변까지의 거리이며, 접하는 원은 그 변과 직각으로 만난다.
접선은 반지름에 수직원에 접하는 직선은 접점까지의 반지름과 직각으로 만난다.
4STEP 4
직각삼각형 세우기
구의 반지름이 빗변이 됩니다.
OT = 6, FT = 4, ∠ OFT = 90°
단면원 위 한 점, 평면 발, 구 중심 — 세 점이 3D 직각삼각형.
8.G.B.7Draw A Diagram5STEP 5
거리 계산
피타고라스로 2루트5가 나옵니다.
d = √(R² - r²) = √(36 - 16) = 2√(5)
피타고라스로 거리 확정 — R² = r² + d².
8.G.B.7Identify Subproblems정답
2√(5)
크기 점검. 2√(5) ≈ 4.47로 구 반지름 6 보다 작음 — 그래야 평면이 구를 가로질러 단면원이 생기고 접점이 존재. r = 4 ＜ R = 6도 단면원이 대원보다 작다는 자연스러운 사실. 끝으로 r² + d² = 16 + 20 = 36 = R²가 직각관계를 직접 확인.
💡핵심 정리
이 AMC 12 문제는 8학년 피타고라스 정리(두 번 — 삼각형 높이와 구 반지름·내접원 반지름·거리 관계)와 내접원 공식 r = A/s 만 있으면 풀려요 — d = √(6² - 4²) = 2√(5).