AMC 10 · 2019 · #19

학년 11 geometry-2d
유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Chained Ratio Linking
law-of-sinespythagorean-identitylaw-of-cosinesratio-proportion convert-to-algebraextreme-principleidentify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-identitylaw-of-sines
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
어떤 삼각형의 세 변의 길이가 모두 정수이고 세 각이 코사인 값으로 모두 정해져 있습니다. 이 설명에 맞는 모든 삼각형 중에서 둘레가 가장 작을 때 그 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
9
(B)
12
(C)
23
(D)
27
(E)
44
풀이 과정
전략 다르게 정리하기

문제가 주는 것은 각에 대한 정보(코사인)인데, 묻는 것은 길이에 대한 정보(둘레)입니다. 그래서 주어진 자료를 변의 언어로 다시 저장해야 합니다. 그 다리 역할을 하는 것이 사인법칙입니다. 사인법칙은 변을 코사인이 아니라 사인과 연결하므로, 첫 수는 sin² x + cos² x = 1을 써서 코사인을 사인으로 바꾸는 것입니다. 사인 값을 알면 비 a : b : c가 바로 나오고, 삼각형의 모양이 완전히 결정됩니다. 그러면 남는 자유는 크기 하나뿐이므로, "둘레의 최솟값"은 정수 조건이 허락하는 만큼 배율을 줄이는 작은 정수 문제가 됩니다.

1STEP 1

모양은 고정, 크기만 자유

각이 정해지면 모양만 고정됩니다.

a = BC, b = CA, c = AB, (a, b, c) = k (a₀, b₀, c₀)
2STEP 2

코사인을 사인으로 바꾸기

코사인을 사인으로 바꿉니다.

sin A = √(1 - (11/16)²) = 3√(15)/16, sin B = √(1 - (7/8)²) = √(15)/8, sin C = √(1 - (-1/4)²) = √(15)/4
3STEP 3

사인에서 변의 비 읽기

사인에서 변의 비를 읽습니다.

a : b : c = 3√(15)/16 : √(15)/8 : √(15)/4 = 3 : 2 : 4
4STEP 4

세 각이 실제로 맞는지 확인

세 각이 실제로 맞는지 검산합니다.

(9 + 4 - 16)/(2 · 3 · 2) = -1/4, (4 + 16 - 9)/(2 · 2 · 4) = 11/16, (9 + 16 - 4)/(2 · 3 · 4) = 7/8
5STEP 5

배율을 한계까지 줄이기

비를 기약으로 줄이면 둘레는 9입니다.

P = (3 + 2 + 4)k = 9k, gcd(3, 2, 4) = 1 → k_min = 1, P_min = 9
정답
9
가능한 둘레는 모두 양의 정수 k에 대해 9k 꼴이므로 9, 18, 27, 36, …뿐입니다. 다섯 선택지 중 이 목록에 있는 것은 9와 27뿐이고, 27은 k = 3에서 나오는 세 배 큰 삼각형이라 최솟값이 될 수 없습니다. 나머지 12, 23, 44는 9의 배수가 아니므로 이 모양의 삼각형에서는 아예 나올 수 없습니다. 답이 되는 삼각형 2, 3, 4도 자체 점검을 통과합니다. 2 + 3 ＞ 4이고, 가장 긴 변 4가 유일한 둔각 C의 맞은편에 있습니다. 각의 합도 확인됩니다. -cos(A+B) = -(11/16 · 7/8 - 3√(15)/16 · √(15)/8) = -(77/128 - 45/128) = -1/4 = cos C이므로 주어진 자료는 서로 모순되지 않습니다.
💡핵심 정리

세 각은 삼각형의 모양을 묶어 두지만 크기는 묶지 못합니다. 그러니 각을 변의 비로 바꾼 다음, 그 비를 정수로 만들 수 있는 가장 작은 크기까지 줄이면 됩니다.

  • 모양은 고정, 크기만 자유
  • 코사인을 사인으로 바꾸기
  • 사인에서 변의 비 읽기
  • 세 각이 실제로 맞는지 확인
  • 배율을 한계까지 줄이기

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