AMC 10 · 2019 · #23
학년 11 algebra답을 골라 클릭하세요.
a₂₀₁₉을 직접 계산하는 것은 가망이 없다. 한 단계마다 이미 거대한 지수 탑 위에 지수가 또 하나 쌓이기 때문이다. 그런데 문제가 요구하는 것은 a₂₀₁₉이 아니라 log₇(a₂₀₁₉)이고, 이것은 항 자체가 아니라 항의 로그를 따라가라는 강한 힌트다. 두 새로운 기호를 로그로 다시 쓰면 그것들은 평범한 곱셈과 나눗셈이 되므로, b_n = log₇(a_n)이라는 변수를 도입해 점화식을 그 변수로 다시 세운다. 작은 경우 두 개가 새 점화식의 정체를 보여 주고, 거기서 보이는 패턴은 망원경처럼 약분되는 곱으로 확인된다. 마지막 어림은 2019를 2의 거듭제곱 두 개 사이에 끼워 넣기만 하면 되고, 그 과정에서 다섯 보기 중 넷이 지워진다.
두 기호를 로그의 세계에서 읽기
두 기호를 로그의 세계에서 읽습니다.
로그는 지수를 곱하는 수로 바꾸므로, 새로 만든 두 기호가 이미 아는 사칙연산으로 주저앉는다.
9.A-SSE.A.2Organize Information In More Ways각 항의 로그에 이름 붙이기
각 항의 로그에 이름을 붙입니다.
a_n 대신 log₇(a_n)을 따라가면 쌓인 지수가 평범한 곱의 사슬로 바뀐다.
9.F-IF.A.3Introduce A Variable사슬의 시작과 작은 n 시험하기
작은 항 몇 개가 규칙을 보여 줍니다.
손으로 두 걸음만 걸어 보면 거대한 번호가 등장하기 훨씬 전에 점화식의 정체가 드러난다.
11.F-LE.A.4Solve An Easier Related Problem사슬 전체를 약분하기
사슬이 통째로 약분됩니다.
이 사슬은 망원경이다. 분자에 있는 로그마다 다음 분모에서 쌍둥이를 만나 사라진다.
그 사슬은 망원경이다. 분자의 각 로그가 다음 분모의 짝을 만나 사라진다.
▸ 왜?
어떤 양을 자기 자신으로 나누면 곱셈이 되돌려지므로, 짝지어진 것마다 빠진다.
▸ 왜?
1을 곱해도 아무것도 달라지지 않으므로, 짝이 없는 양 끝만 살아남는다.
2의 거듭제곱 사이에 가두기
2의 거듭제곱 사이에 가두면 11입니다.
2019가 2¹¹에 거의 닿으므로, 밑이 2인 로그도 11에 거의 닿는다.
11.F-LE.A.4Eliminate Possibilities문제가 숫자를 지수 위에 숨겨 두면 전부 로그를 취해라. 지수 탑은 곱으로 바뀌고, 그 곱은 사슬을 따라 약분되며, 번호 2019에 이르는 일이 번호 4에 이르는 일보다 조금도 더 힘들지 않게 된다.
- 두 기호를 로그의 세계에서 읽기
- 각 항의 로그에 이름 붙이기
- 사슬의 시작과 작은 n 시험하기
- 사슬 전체를 약분하기
- 2의 거듭제곱 사이에 가두기