AMC 10 · 2019 · #4
학년 6 number-theory답을 골라 클릭하세요.
도구 #9(더 쉬운 문제): 더 작은 목표 합 5부터 시도. 음수를 끼워 대부분 항을 상쇄하는 요령이 보입니다 — -4, -3, …, 4, 5의 합이 5, 항 수는 10. 도구 #1(그림): 수직선 위에 -k 부터 +k 까지의 대칭 묶음은 합이 0, 거기에 꼬리 {k+1, …, 45}가 45를 책임지는 그림. 도구 #5(패턴 찾기): 작은 경우의 패턴을 일반화 — 합 S 이면 -(S - 1)부터 S 까지, 2S 개. S = 45 면 90. 도구 #3(가능성 지우기): 선택지는 9, 25, 45, 90, 120. 45 이하는 음수를 쓰지 않은 것, 120은 상한 90을 넘어 불가능.
작은 예로 감 잡기
짧은 예에서 상쇄가 어떻게 되는지 봅니다.
음수가 양수와 짝지어 상쇄 — 살아남는 건 맨 위 수뿐.
6.NS.C.6Solve An Easier Related Problem대칭 블록의 성질
대칭인 부분은 합이 0이 됩니다.
워밍업과 같은 패턴 — 합은 그대로, 길이는 두 배.
0을 중심으로 대칭인 구간에서는 음수가 양수를 짝지어 지우고 맨 위의 수만 남는다.
▸ 왜?
각 수와 그 반대수는 더해서 0이 되므로, 그런 짝마다 합에서 빠진다.
▸ 왜?
양 끝에서 안쪽으로 짝지으면 모든 항이 반대수와 맞아떨어지고, 정확히 하나만 짝을 잃는다.
가장 긴 수열 만들기
남는 것이 목표가 되게 양 끝을 잡습니다.
워밍업과 같은 패턴, 크기만 커짐: -(S-1)부터 S 까지면 2S 항.
6.NS.C.6Look For A Pattern공식으로 상한 확인
항의 개수가 목표의 약수여야 합니다.
길이는 반드시 90의 약수 — 그리고 90 자신도 가능.
6.EE.B.7Solve An Easier Related Problem보기와 맞추기
조건을 통과하는 가장 큰 값은 90입니다.
선택지 중 90의 약수만 가능 — 가장 큰 건 90.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities이 AMC 12 문제는 사실 6학년 "수직선 위의 음수" 만 알면 풀 수 있어요 — -44부터 45까지 모으면 (-k, k) 짝이 모두 상쇄되고 45만 남아서 항 수는 90 이에요!