AMC 10 · 2019 · #6

학년 8 geometry-2d

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

spatial-visualizationreflection-symmetryrotation-isometrytransformations-compositionline-symmetry caseworkphysical-representation ↑ 선수 지식: reflection-symmetryrotation-isometry

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

어떤 직선을 따라 정사각형이 위아래로 번갈아 무한히 반복되는 무늬가 있고, 각 정사각형의 한 모퉁이에 작은 대각선 조각이 붙어 있습니다. 항등변환을 뺀 네 가지 강체운동 중에서 이 무늬 전체를 자기 자신에 겹치게 하는 것이 몇 개인지 구하세요. 네 가지는 직선 위의 한 점을 중심으로 한 회전, 직선을 따라가는 평행이동, 직선에 대한 대칭, 직선에 수직인 어떤 직선에 대한 대칭입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 직접 만져보기

띠 패턴 대칭은 도형을 베껴 직접 옮기거나 뒤집어 보는 것이 가장 확실 (도구 #10). 도구 #17로 머릿속 회전·반사. 도구 #1로 패턴을 그리고 후보 회전 중심·반사축을 표시한 뒤 각 조각을 확인. 도구 #3으로 네 운동을 하나씩 검토해 예 개수 합산.

1STEP 1

무늬의 주기 재기

위와 아래가 절반씩 어긋나 있습니다.

ℓ 방향 주기: 4 단위, 위·아래 2 만큼 어긋남

2STEP 2

평행이동 확인

한 주기만큼 밀면 정확히 겹칩니다.

4 단위 평행이동 → 일치

3STEP 3

회전 확인

반 바퀴 돌리면 위아래가 맞바뀌며 겹칩니다.

(1, 0) 중심 180° 회전 → 위 ⇔ 아래, 일치

4STEP 4

직선 대칭 확인

뒤집으면 자리가 어긋납니다.

ℓ 대칭 → 위·아래 바뀌고 위치 어긋남

5STEP 5

수직 대칭 확인

대각선 조각이 반대 모퉁이로 갑니다.

세로 대칭 → 대각선 조각이 잘못된 꼭짓점으로

6STEP 6

통과한 것 세기

통과하는 것은 2개입니다.

가능 개수 = 2 → (C)

정답

띠 패턴은 대칭에 따라 7 군으로 분류되며, 각 군이 평행이동·미끄럼 반사·회전·가로 반사·세로 반사의 특정 조합을 가짐. 이 패턴은 평행이동 + 180° 반회전은 있지만 가로·세로 반사는 없음 (위·아래 교대와 대각선 조각 때문). 이는 띠 군 p2에 해당하며 — 주어진 네 운동 중 정확히 2 개가 대칭. (C)와 일치.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 사실 8학년 강체 운동만 알면 풀 수 있어요 — 도형을 복사해 네 운동을 하나씩 시험. 직선 방향 평행이동 가능 (주기 4), 위·아래 사각형 사이 중간 점 중심 180° 회전 가능, 두 종류의 뒤집기는 대각선 조각이 잘못된 꼭짓점으로 가서 불가능. 답: 2.