AMC 10 · 2019 · #7

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

mean-median-mode-rangeweighted-averagepattern-recognition identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: mean-median-mode-range

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

2019년의 모든 날짜에서 일 숫자만 적습니다. 1부터 28까지는 각각 열두 번, 29와 30은 각각 열한 번, 31은 일곱 번 나옵니다. 이 365개 수의 평균, 중앙값, 그리고 최빈값들의 중앙값을 작은 것부터 순서대로 늘어놓으세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\mu < d < M$

(B)

$M < d < \mu$

(C)

$d = M =\mu$

(D)

$d < M < \mu$

(E)

$d < \mu < M$

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

도구 #2(나열): 각 값과 도수를 표로 만들면 중앙값 위치와 최빈값 집합을 바로 읽음. 도구 #15(다르게 정리): 누적도수를 옆에 적어 두면 183 번째 항목이 어느 값에 떨어지는지 한 줄 스캔으로 끝. 평균은 "낮게 표본된" 29, 30, 31 때문에 중앙값보다 작아지고, 최빈값들의 중앙값 14.5 보다는 커지는 것을 비교 추론. 도구 #3으로 네 오답 제거.

1STEP 1

전체 개수 확인

모두 더하면 365개가 맞습니다.

12 · 28 + 11 · 2 + 7 = 336 + 22 + 7 = 365

2STEP 2

최빈값의 중앙값 구하기

최빈값이 스물여덟 개라 그 중앙값을 냅니다.

최빈값 = {1, 2, …, 28}, d = (14 + 15)/2 = 14.5

3STEP 3

중앙값 찾기

183번째 값을 세어 나가면 16입니다.

12 · 15 = 180 ＜ 183 ≤ 192 = 12 · 16 → M = 16

4STEP 4

평균은 중앙값보다 작다

큰 값이 덜 나오므로 평균이 아래입니다.

x(1, …, 31) = 16, 큰 값 표본 부족 → μ ＜ 16 = M

5STEP 5

평균은 최빈값 중앙값보다 크다

29, 30, 31이 평균을 위로 밀어 올립니다.

x(1, …, 28) = 14.5, 추가된 29, 30, 31 ＞ 14.5 → μ ＞ d = 14.5

6STEP 6

세 값 순서 정하기

순서는 최빈값 중앙값, 평균, 중앙값입니다.

d = 14.5 ＜ μ ＜ 16 = M → (E)

정답

d ＜ μ ＜ M

직접 계산으로 확인. 총합 = 12 · (28 · 29)/2 + 11 · 29 + 11 · 30 + 7 · 31 = 12 · 406 + 319 + 330 + 217 = 4872 + 866 = 5738, 따라서 μ = 5738/365 ≈ 15.72. 14.5 ＜ 15.72 ＜ 16 — 정확히 d ＜ μ ＜ M.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 사실 6학년 때 배운 평균·중앙값·최빈값만 알면 풀 수 있어요! 1~~28은 모두 12 번씩 나타나 함께 최빈값 — 그들의 중앙값 d = (14 + 15)/2 = 14.5. 정렬한 365 개의 183 번째는 16 자리에 떨어져 M = 16. 1~~31이 모두 같다면 평균도 16 이지만 29, 30, 31이 모자라 평균은 16 아래(≈ 15.72). 결국 d ＜ μ ＜ M, 답 (E).